本书的诞生已是半个世纪之前的事情，但是，深贯其中的严谨的学术风范以及针对不同时代所做出的切实改进使得它愈久弥新，成为复分析领域历经考验的一本经典教材。本书作者在数学分析领域声名卓著，多次荣获国际大奖，这也是本书始终保持旺盛生命力的原因之一。

无

作为单复变量的标准基础教材，《复分析》成功地保持了它的地位。然而，仍然需要一个新的版本，一方面是因为当前的数学术语有些变化，另一方面是因为学生的基础和目标也有所不同。
　　新的版本中没有根本性的创新。作者仍然坚信几何方法的基础作用，因此在介绍性的章节里没有本质上的变化。经验表明，整本书中有少数几处可能会产生误解和困难，需要予以阐明。已经发现的印刷错误和小错误都已经改正。另外，第2版和第3版的主要区别概括如下：
　　1.数学符号和术语已经采用现代标准，但是没有必要对文体作大的改变。
　　2.在第2章中，增加了很短的一节，讨论共形映射下长度和面积的变化。这在某种程度上破坏了本书能自含解释的特点，因为需要读者回顾微积分，学习重积分的定义和处理。这个缺点较小。
　　3.在第4章中，柯西定理的一般形式有了一个新的更简单的证明。这是A F Beardon给出的证明，他慷慨地允许我在这里引用。这个证明补充了老的证明，但不能取而代之，因此老的证明仍然保留并作了改进。
　　4.增加了很短的一节，讨论黎曼ζ函数。这常使学生着迷，并且函数方程的证明说明，留数在比定积分计算更为复杂的情形下应用。
　　5.第8章中的大部分已全部重写。主要目的是在强调经典概念的同时，介绍给读者芽和层的术语。不过，所涉及的层理论的基本概念不会超出与本书初级性质相一致的范围。
　　6.作者经受住把黎曼面作为一维复流形加进书中的诱惑。本书旨在介绍平面上复函数论的基本方法和结果，如果超出该目的，那么将大大失去其有用性。
　　很多人指出了第2版中的一些印刷错误、缺点和错误，在此对他们的帮助表示感谢。特别感谢我的同事Lynn Loomis，他使我了解到学生在以此书为教材的近期课程中的反映。

Lars V Ahlfors

第1章复数
11复数代数
111算术运算
112平方根
113合理性
114共轭，绝对值
115不等式
12复数的几何表示
121几何加法和几何乘法
122二项方程
123解析几何
124球面表示
第2章复函数
21解析函数的概念介绍
211极限与连续性
212解析函数
213多项式
214有理函数
22幂级数的基础理论
221序列
222级数
223一致收敛性
224幂级数
225阿贝尔极限定理
23指数函数和三角函数
231指数函数
232三角函数
233周期性
234对数函数
第3章作为映射的解析函数
31初等点集拓扑
311集和元素
312度量空间
313连通性
314紧致性
315连续函数
316拓扑空间
32共形性
321弧与闭曲线
322域内的解析函数
323共形映射
324长度和面积
33线性变换
331线性群
332交比
333对称性
334有向圆
335圆族
34初等共形映射
341阶层曲线的应用
342初等映射概述
343初等黎曼面
第4章复积分
41基本定理
411线积分
412可求长的弧
413线积分作为弧的函数
414矩形的柯西定理
415圆盘中的柯西定理
42柯西积分公式
421一点关于闭曲线的指数
422积分公式
423高阶导数
43解析函数的局部性质
431可去奇点，泰勒定理
432零点和极点
433局部映射
434最大值原理
44柯西定理的一般形式
441链和闭链
442单连通性
443同调
444柯西定理的一般叙述
445柯西定理的证明
446局部恰当微分
447多连通域
45留数计算
451留数定理
452幅角原理
453定积分的计算
46调和函数
461定义和基本性质
462均值性质
463泊松公式
464施瓦茨定理
465反射原理
第5章级数与乘积展开
51幂级数展开式
511魏尔斯特拉斯定理
512泰勒级数
513洛朗级数
52部分分式与因子分解
521部分分式
522无穷乘积
523典范乘积
524Γ函数
525斯特林公式
53整函数
531詹森公式
532阿达马定理
54黎曼ζ函数
541乘积展开
542ζ(s)扩张到整个平面
543函数方程
544ζ函数的零点
55正规族
551等度连续性
552正规性和紧致性
553阿尔泽拉定理
554解析函数族
555经典定义
第6章共形映射狄利克雷问题
61黎曼映射定理
611叙述和证明
612边界表现
613反射原理的应用
614解析弧
62多边形的共形映射
621在角上的表现
622施瓦茨克里斯托费尔公式
623映成矩形的映射
624施瓦茨的三角形函数
63调和函数的进一步讨论
631具有均值性质的函数
632哈纳克原理
64狄利克雷问题
641下调和函数
642狄利克雷问题的解
65多连通域的典范映射
651调和测度
652格林函数
653具有平行缝的域
第7章椭圆函数
71单周期函数
711用指数函数表示
712傅里叶展开
713有穷阶函数
72双周期函数
721周期模
722幺模变换
723典范基
724椭圆函数的一般性质
73魏尔斯特拉斯理论
731魏尔斯特拉斯P函数
732函数ζ(z)与σ(z)
733微分方程
734模函数λ(τ)
735λ(τ)所做的共形映射
第8章全局解析函数
81解析延拓
811魏尔斯特拉斯理论
812芽与层
813截口与黎曼面
814沿弧的解析延拓
815同伦曲线
816单值性定理
817支点
82代数函数
821两个多项式的结式
822代数函数的定义与性质
823临界点上的表现
83皮卡定理
84线性微分方程
841寻常点
842正则奇点
843无穷远点附近的解
844超几何微分方程
845黎曼的观点
索引251

本书是复变大师Lars V Ahlfors的经典之作 Lars V Ahlfors（1907—1996），美籍芬兰数学家，是20世纪最伟大的分析大师之一。他是1936年首次菲尔茨奖获奖者，1981年因在几何函数论方面的有效新方法的创立和根本性的发现而荣获沃尔夫奖。Ahlfors是迄今为止获得这两项世界数学最高奖的仅有的几个人之一。
　　Ahlfors的主要工作领域是复分析，他对值分布论、黎曼曲面、数值长度、拟共形映射和克莱因群等领域都做出了重大贡献。他于1929年证明了当茹瓦（Denjoy）于1907年提出的猜想：如果整函数的阶为ρ，有限渐进值个数为n，则n≤2ρ 1935年提出覆盖面理论，由此可推出著名的1925年的奈旺林纳（Nevanlinna）理论，并对值分布论的几何意义予以明确的阐述。他发展了H Weyl的亚纯曲线理论。后来的工作围绕黎曼曲面的参模理论。由于参模空间难于处理，问题转向研究其覆盖空间——泰希米勒（Teichmüller）空间。为此，Ahlfors发展了拟共形映射理论，用来对其结构进行研究，特别是证明它具有复解析结构。Ahlfors的著作清晰流畅，除了本书外，还包括《拟共形映射讲义》和《Conformal Invariants》（共形不变量）等，因此而荣获1982年美国数学会Steele奖。
　　复分析研究复自变量复值函数的分析，是数学中最重要的分支之一，同时在数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）以及在自然科学的其他领域（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）都有着重要的应用。Ahlfors的这本书被国内外很多大学采纳作为教材，是复分析领域历经考验的一本经典教材。
　　这本教材取材合理、言简意赅、由浅入深、逻辑严谨、论述清晰、易于教学。本书中使用了很多诸如“不难看出”、“显然”、“明显”、“易见”等词，对应的英文包括：clearly, obviously, evidently, it is easy to see…, it is not difficult to see…, it is plain that…, it is readily seen that…, it is easy to see…, 等等。据作者在该书第1版的前言中所说，“They are not used to blur the picture On the contrary, they test the readers understanding, for if he does not agree that the omitted reasoning is clear, obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start”（目的并不是在故弄玄虚，而是试验读者是否真正了解……）全书共分成8章，主要包括：复数、复函数、作为映射的解析函数、复积分、级数与乘积展开、共形映射、狄利克雷问题、椭圆函数以及全局解析函数。此外，大部分章节后都有练习，便于学生掌握书中内容，其中加上“*”号的练习供学有余力的学生选做。本书假定读者具备大学二年级的数学基础，可作为高等院校高年级本科生以及研究生的教材和参考书。

　　本书在翻译过程中，采取了以下原则：
　　1．术语尽可能采用自然科学名词审定委员会1993年公布的《数学名词》，使用的词典是国防工业出版社1991版的《英汉科学技术词典》以及科学出版社2002版的《新英汉数学词汇》。
　　2．本书中含有外国学者人名定义的术语，一般都按照《数学名词》及《新英汉数学词典》翻译成中文。
　　3．对原书中的个别错误，如公式号错、拼写错误等，翻译过程中进行了修改。
　　此外，本书在翻译过程中，参考了在国内影响较大的上海科学技术出版社出版的中译本，在此表示感谢。
　　本书由赵志勇、薛运华和杨旭共同翻译完成，由于时间仓促，不当之处在所难免，希望广大读者批评指正。

译者
于南开大学