微分方程问题是工程和应用数学领域的重要问题。本书是作者多年教学经验的总结，示例丰富、内容全面、条理清晰。在编写的过程中，作者一直遵循便于学生理解和记忆的原则，所以本书的内容没有采用过于理论化的方式，而是以直观、易读的方式表述。本书对传统的教学方式和教学内容的各个方面都进行了革新，不仅内容更加吸引读者，同时加强理论与应用相结合,精心设计了三个项目模型，讲解微分方程的实际应用。

无

在本书修订过程中，作者受到了多方面的影响．作者希望能够满足评审者和编辑的要求，通过添加以及改变内容，使这本书既能够跟上时代，又具有竞争力．同时，作者也不希望增加书的厚度（删除某些内容的要求是很少见的）并确实不愿做任何使前一版的读者感到为难的事．所以，我试图满足这些要求，或者至少权衡这些要求．但是事实上，我并没有背离我的原则（在我看来）：本科生的教科书应当使用学生能够理解的、浅显易懂的语言，以及对他们有帮助的方式写成，同时也要使书中的理论水平与“初级课程”的概念一致．
　　近几年，由于“微分方程”方法的改进以及在教学中越来越重要的地位，再加上微积分的改革，使得微分方程这门课发生了很多变化．教师对这门课中传统的教学方法和授课内容提出质疑．这种有益的反思非常重要，它不仅使这门课对学生来说显得更为有趣，而且使其更紧密地和他们所生活的世界相联系．

这一版有什么新内容
　　这一版对微分方程的三种主要方法进行了更清楚的描述，这三种方法是：解析法、定性分析法和数值分析法．在阐述一阶微分方程的解析解之前，第2章在开头加入了新的一节．在这一节中，用方向场和相线分析法对一阶微分方程解的定性描述进行了检验．我认为，一定量的定性分析应该是而且也将是有代表性的初级课程的重要组成部分．
　　因为这是第5版，所以我努力在练习中加入一些新类型的问题．其中有些问题要求使用计算机代数系统，这是本版的新变化．我意识到有些学校缺少计算机资源，无法把这些问题包含进他们的课程中，因此把这些问题的很大一部分放在“计算机实验作业”中．这使这些问题不会成为障碍；也就是说，如果教师想跳过它们，或推迟对它们的教学的话，不必从标准习题之中清除它们．那些要求更简单的技术（比如说图形计算器或绘图软件等的问题，已经在旁边用图标进行了标注．最后，在大多数练习中加入了许多概念题和讨论题．在有些情况下，我略微减少了“训练题”的数量(这些题通常要求使用常规的解法)，以便为增加新的练习留出空间．和“计算机实验作业”一样，为方便起见，强调对概念的理解以及适合在班级或小组中讨论的问题放在练习的后面部分．
　　三种新的“项目模型”都是由Gilbert N.Lewis教授设计的，分别放在第3、5、8章后面．这些模型分别考察了可再生资源的利用、塔科马海峡吊桥的坍塌、多层建筑在地震中的震动的数学模型．这些模型不仅仅是论述，其中每一个都包含了一系列的问题，如果需要的话可以作为计算机实验作业．

这一版有什么变化
　　虽然几乎每一章中都有变化，但是变化最大的还是第2、6、7章．
第2章：一阶微分方程
　　这一章的论题在某些方面进行了重新安排，并增加了新的一节．
　　在解一阶微分方程之前，21节中进行了一些定性分析，题目是“不求解情况下的解曲线”．在这一节中利用方向场和相线分析法讨论了如何了解曲线的形态和曲线的形状问题，大约一半的资料是新加入的；方向场的有关资料在第4版的第9章中使用过．在我的授课中，使用了另外一本教材《Differential Equations with Computer Lab Experiments》，我发现学生实际上比较喜欢对自治一阶微分方程定性方面的简短介绍，因为它并没有涉及复杂的过程，而仅仅是建立在对导数概念解释的基础上，这个概念对他们来说在微分计算的学习过程中已经非常熟悉．这里简短地介绍了临界点、均衡解，以及吸引子、排斥子和半稳定的临界点的稳定性，这种简短的介绍不是从纯理论的角度进行的，也不是以非常复杂的方式来介绍的．
　　在本版中，我把关于线性方程的讨论（23节）移到了对恰当方程的讨论（24节）之前．在23节中，我保留了“性质、过程和常数变易法”的格式，尽管这种介绍线性一阶微分方程的方法在第4版中并没有得到读者的一致赞同．有些教科书在处理线性一阶运算（比如说，求积分因子的一般形式）时似乎说明线性一阶方程在某些方面不同于线性高阶方程．请记住，本书第4章中试图阐述求解线性高阶方程的过程也适用于线性一阶方程．
　　在第4版对恰当方程的讨论中，积分因子的概念在练习中占据了次要的地位．求解某些类型的非恰当方程的积分因子现在已经加入到了24节中．
　　直观的欧拉方法已经从第4版的第9章中移到了本版的26节．这样做有两个原因：一是在微分方程的解析法、定性法和数值法之间达到一个更好的平衡，二是为了更好地说明计算机软件(一般为数值求解程序)图形方面的问题．另外，在第2章中对欧拉方法的描述与大多数现行微积分教材中对这个问题的考虑保持一致．
第6章：线性方程的级数解
　　关于利用弗罗贝尼乌斯方法（62节）解各种情况下的变系数线性微分方程的冗长讨论被大大地压缩了，本书只介绍了核心部分．
第7章：拉普拉斯变换
　　第7章的结构是全新的，比以前的各版更快地进入主题，即拉普拉斯变换是解一些特定方程的有效工具．
　　导数的拉普拉斯变换以及如何把这个结果用于简单的线性初值问题，将在本版7.2节中介绍．
　　在这一章的随后几节中，关于不断增加难度的初值问题和其他类型微分方程的解的讨论，将随着变换的各种运算性质的介绍而展开．在以前的版本中，所有这些方法都包括在一节中，使得该节过于庞杂．
第8章：线性一阶微分方程组
　　在第8章中加入了更多的数字和图表．平面方程组解的图像在tx平面、ty平面和xy平面上绘出．在本书中，尽管引入了“相平面”这个词，但是没有对自治二阶微分方程或自治平面方程组进行定性分析．
　　在8.4节中，加入了关于如何将拉普拉斯变换用于确定矩阵指数的讨论．

哪些仍保持不变
　　按照主题和逻辑排列的章节与以前的版本一样．和前面几版相同，这一版提供了大量的例子、练习和实际应用．不同的章节中，在介绍微分方程的实际应用方面仍存在微小的差别．一些评审者建议将对微分方程解的讨论放入实际应用中，另外一些评审者则认为应该将二者分开．我同意后者的观点．我认为，将一阶常微分方程和高阶常微分方程的应用放在不同的章节中不仅可以给教科书带来更大的灵活性，而且在开始时只强调少量的概念不会使读者感到突然．从学生的观点来看，求解方法与应用混在一起会令人感到压力太大，从教师的观点来看，尽管这些实际应用不是教学大纲的一部分，也很难跳过．不过这些并不是一成不变的，现在我已经将实际应用编入第7章关于拉普拉斯变换的不同节中．我想这样做有两个理由：通常到第7章学完后，学生已经能够比较轻松地解决实际应用了，并且就像前面所说的，另一种编排方法（即将所有的实际应用都放在一节里）并不讨人喜欢．总之，我反对那种将线性二阶微分方程的解和高阶微分方程的解放在不同章节的观点．

致谢
　　非常感谢下列各位，他们在修订过程中给予了大量的帮助、建议和批评：Zaven Margosian，劳伦斯科技大学；Brian M.OConnor, 田纳西科技大学；Mohsen Razzaghi,密西西比州立大学．
　　对密歇根科技大学的Gilbert Lewis给予特别的感谢，他在百忙之中抽出时间设计了本书的三个项目模型．同时要感谢Barbara Lovenvirth在这些建模中的合作．最后，我要对才华横溢的同事Michael Berg表示真诚的感谢，他提供了图122中的卡通图片．
　　完成这样一部教科书是费时而且困难重重的．毫无疑问，数百页的手稿经过许多人的手，错误是在所难免的．我在这里为可能出现的一些错误道歉．
　　这本书献给我27年的合作者、同事以及朋友——Michael R.Cullen(1943—1999)，他也是一位获奖教师，在本书出版的过程中去世了．

第1章微分方程引论1
11定义与术语1
12初值问题11
13作为数学模型的微分方程17
第1章复习题29
第2章一阶微分方程31
21不求解情况下的解曲线31
22可分离变量40
23线性方程47
24恰当方程56
25换元法62
26数值解法67
第2章复习题71
第3章一阶微分方程建模75
31线性方程75
32非线性方程86
33线性微分方程组和非线性微分方程组95
第3章复习题103
项目模型：可再生资源的利用105
第4章高阶微分方程111
41基本定理：线性方程111
411初值和边界值问题111
412齐次方程113
413非齐次方程118
42降阶法122
43常系数齐次线性方程124
44待定系数——叠加法132
45待定系数——零化子法140
46常数变易法147
47柯西欧拉方程151
48消元法解线性方程组157
49非线性方程162
第4章复习题166
第5章高阶微分方程建模169
51线性方程：初值问题169
511弹簧/质量系统：自由无阻尼运动169
512弹簧/质量系统：自由阻尼运动173
513弹簧/质量系统：受迫运动176
514串联电路模型179
52线性方程：边界值问题187
53非线性方程195
第5章复习题205
项目模型：塔科马海峡吊桥的坍塌207
第6章线性方程的级数解211
61平凡点的解211
611幂级数回顾211
612幂级数解214
62奇点的解222
63两个特殊的方程231
第6章复习题242
第7章拉普拉斯变换245
71拉普拉斯变换的定义245
72逆变换与导数变换251
73平移定理259
731沿s轴的平移259
732沿t轴的平移262
74加法运算的性质271
75狄拉克δ函数281
76线性方程组285
第7章复习题290
第8章线性一阶微分方程组295
81基本理论295
82常系数齐次线性方程组303
821不同的实特征值304
822重复的特征值307
823复特征值311
83常数变易法319
84矩阵指数323
第8章复习题327
项目模型：多层建筑在地震中的震动328
第9章常微分方程的数值解333
91欧拉方法与误差分析333
92龙格－库塔法338
93多步法344
94高阶微分方程与方程组346
95二阶边界值问题351
第9章复习题355
第10章平面自治方程组及稳定性357
101自治方程组、临界点及周期解357
102线性方程组的稳定性364
103线性化和局部稳定性375
104利用自治方程组建模385
第10章复习题394
第11章正交函数和傅里叶级数397
111正交函数397
112傅里叶级数401
113傅里叶余弦和正弦级数406
114施图姆－刘维尔问题415
115贝塞尔级数和勒让德级数420
1151傅里叶－贝塞尔级数420
1152傅里叶－勒让德级数424
第11章复习题427
第12章偏微分方程及直角坐标系下的边界值问题429
121可分离的偏微分方程429
122经典方程与边界值问题433123热传导方程438
124波动方程441
125拉普拉斯方程446
126非齐次方程与边界条件450
127正交级数展开453
128含有双变量傅里叶级数的边界值问题457
第12章复习题460
第13章其他坐标系下的边界值问题463
131极坐标下含有拉普拉斯方程的问题463
132极坐标和柱坐标下的问题：贝塞尔函数467
133球坐标下的问题：勒让德多项式474
第13章复习题477
第14章积分变换方法479
141误差函数479
142拉普拉斯变换的应用481
143傅里叶积分489
144傅里叶变换495
第14章复习题500
第15章偏微分方程的数值解503
151椭圆型方程503
152抛物型方程509
153双曲型方程516
第15章复习题520
附录A伽马函数523
附录B矩阵引论525
附录C拉普拉斯变换表543
附录D奇数题号的练习答案547
附录E积分表579

我在读研究生时开始涉足微分方程的研究，至今已有20多年，微分方程以及相关的最优控制问题目前仍是我的主要研究领域之一．之所以翻译这本书，是因为数月前我的一个研究生偶得此书，细细阅读之下发现这本书非常适于本科生和广大数学爱好者作为入门或自学的教材．它没有采用过于理论化的方式，而是以直观、易读的方式表述，示例丰富、内容全面、条理清晰，不难看出这是作者多年教学经验的结晶．
　　微分方程是近代数学的一个十分重要的学科分支．随着现代社会的发展，无论是在工程、宇航等自然科学领域，还是在经济、金融等社会科学领域，微分方程都有着十分广泛的应用．尤其是在经济和金融研究领域，微分方程及其应用似乎已经是不可或缺．关于金融衍生产品定价的BlackScholes方程便是一个典型的例子，在金融界这个方程几乎人所皆知，耳熟能详．另外，微分方程在保险领域的应用也在逐渐深入．不难预见，微分方程理论及其应用今后仍将在自然科学和社会经济的各个领域中发挥重要的作用．
　　这本教材从微分方程的基本概念讲起，前半部分重点介绍了常微分方程和常微分方程组，而后半部分（从第12章开始）重点讲述了偏微分方程的初步理论，分别从定性分析、解析分析和数值分析三个角度由浅入深、徐徐展开．书中在介绍完一阶和高阶常微分方程的理论后（第2章和第4章），紧跟着开辟了新的章节（第3章和第5章），使用大量具有不同学科背景的实例，着重讲述它们在数学建模中的应用．针对如何求解常微分方程这一问题，本书特别把方程的级数解和拉普拉斯方法分别放在第6章和第7章单独讨论，以突出重点．为了方便应用领域的读者，作者还在第13章专门介绍了微分方程在极坐标、柱面坐标和球面坐标下的一些特殊情形．本书的每一章都使用了丰富的范例，安排了适量的习题，并且介绍了如何使用计算机来求解微分方程，兼顾了理论性和实用性，这在数学教材中是不可多得的．此外，作者还别具匠心，安排了三个项目模型作为微分方程在实际应用中的例子，大大地丰富了本书的内容．
　　作为一名数学工作者，促进数学科学的教育乃是义不容辞的责任．我和张凡、郭凯旋合作翻译了这本教材，希望能有更多的人读到这本非常优秀的教材，以为振兴祖国的数学教育略尽绵力．
　　在本书出版的过程中，我们得到了很多人的帮助，在此要特别感谢机械工业出版社华章分社的编辑，以及张凡和郭凯旋，他们为本书的翻译和录入付出了艰辛的劳动．由于译者的水平有限，难免会有疏漏，欢迎广大读者批评指正．

陈启宏
于上海财经大学