本书是一部现代数学名著。自20世纪70年代面世以来，一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，被许多知名大学指定为教材。

　　相比于同类书籍，它的特点在于：
　　●选取的论据更适于教学使用。
　　●论证详尽，可读性更强。
　　●习题丰富，覆盖各个方面、各级难度。
　　●可根据教学需要选用不同章节。

无

从目录可以看出，本教科书是在“高等微积分”的水平上阐述数学分析中的论题．编写本书的目的在于展现这门学科，要求它的叙述忠实于原貌、精确严密、包含最新进展，同时又不过于学究气．本书提供了从初等微积分向实变函数论及复变函数论中的高等课程的一种过渡，而且介绍了某些涉及现代分析的抽象理论．
　　本书第2版与第1版在很多方面有所不同，主要表现在以下方面：在考虑一般的度量空间以及n维欧氏空间时介绍点集拓扑；增加了关于勒贝格积分的两章；删去了曲线积分、向量分析和曲面积分的材料；重排了某些章的顺序；完全重写了很多节；还增加了若干新的练习．
　　勒贝格积分由RieszNagy方法引入，此方法直接着眼于函数及其积分，而不依赖于测度论．为了适应大学本科水平的教学，在介绍勒贝格积分时，进行了简化、延伸和调整．
　　本书第1版曾被用于从本科一年级到研究生一年级各种水平的数学课程，既用作教科书，又用作补充参考书．第2版保留了这种灵活性．例如，第1章至第5章及第12章和第13章可用于单变量或多变量函数的微分学课程．第6章至第11章及第14章和第15章可用于积分论的课程．也可以按其他方式进行多种组合；教师可以参考下一页的图示选择适当的章节满足自己的需要．图中显示了各章之间的逻辑依赖关系．
　　我要向不厌其烦地就第1版写信给我的许多人表示感谢，他们的评论和建议有助于我对第2版的修改．特别要感谢Charalambos Aliprantis博士，他细心地阅读了第2版的全部手稿并提出了许多有益的建议，还提供了某些新的练习．最后，向加州理工学院的学生们表示由衷的感谢，是他们对数学的热情激发了我编著此书的原动力．

TMA
1973年9月于帕萨迪纳

第1章实数系与复数系
11引言
12域公理
13序公理
14实数的几何表示
15区间
16整数
17整数的唯一因数分解定理
18有理数
19无理数
110上界，最大元，最小上界(上确界)
111完全公理
112上确界的某些性质
113从完全公理推演出的整数性质
114实数系的阿基米德性质
115能用有限小数表示的有理数
116用有限小数逼近实数
117用无限小数表示实数
118绝对值与三角不等式
119柯西施瓦茨不等式
120正负无穷和扩充的实数系R*
121复数
122复数的几何表示
123虚数单位
124复数的绝对值
125复数排序的不可能性
126复指数
127复指数的进一步性质
128复数的辐角
129复数的整数幂和方根
130复对数
131复幂
132复正弦和复余弦
133无穷远点与扩充的复平面C*
练习
进一步参考文献
第2章集合论的一些基本概念
21引言
22记号
23序偶
24两个集合的笛卡儿积
25关系与函数
26关于函数的进一步的术语
2711函数及其反函数
28复合函数
29序列
210相似(对等)集合
211有限集与无限集
212可数集与不可数集
213实数系的不可数性
214集合代数
215可数集的可数族
练习
进一步参考文献
第3章点集拓扑初步
31引言
32欧氏空间Rn
33Rn中的开球与开集
34R1中开集的结构
35闭集
36附贴点，聚点
37闭集与附贴点
38波尔查诺魏尔斯特拉斯定理
39康托尔交定理
310林德勒夫覆盖定理
311海涅博雷尔覆盖定理
312Rn中的紧性
313度量空间
314度量空间中的点集拓扑
315度量空间的紧子集
316集合的边界
练习
进一步参考文献
第4章极限与连续性
41引言
42度量空间中的收敛序列
43柯西序列
44完备度量空间
45函数的极限
46复值函数的极限
47向量值函数的极限
48连续函数
49复合函数的连续性
410连续复值函数和连续向量值函数
411连续函数的例子
412连续性与开集或闭集的逆象
413紧集上的连续函数
414拓扑映射(同胚)
415波尔查诺定理
416连通性
417度量空间的分支
418弧连通性
419一致连续性
420一致连续性与紧集
421压缩的不动点定理
422实值函数的间断点
423单调函数
练习
进一步参考文献
第5章导数
51引言
52导数的定义
53导数与连续性
54导数代数
55链式法则
56单侧导数和无穷导数
57具有非零导数的函数
58零导数与局部极值
59罗尔定理
510微分中值定理
511导函数的介值定理
512带余项的泰勒公式
513向量值函数的导数
514偏导数
515复变函数的微分
516柯西黎曼方程
练习
进一步参考文献
第6章有界变差函数与可求长曲线
61引言
62单调函数的性质
63有界变差函数
64全变差
65全变差的可加性
66在［a，x］上作为x的函数的全变差
67有界变差函数表示为递增函数之差
68有界变差连续函数
69曲线与路
610可求长的路与弧长
611弧长的可加性及连续性性质
612路的等价性，参数变换
练习
进一步参考文献
第7章黎曼斯蒂尔切斯积分
71引言
72记号
73黎曼斯蒂尔切斯积分的定义
74线性性质
75分部积分法
76黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换
77化为黎曼积分
78阶梯函数作为积分函数
79黎曼斯蒂尔切斯积分化为有限和
710欧拉求和公式
711单调递增的积分函数，上积分与下积分
712上积分及下积分的可加性与线性性质
713黎曼条件
714比较定理
715有界变差的积分函数
716黎曼斯蒂尔切斯积分存在的充分条件
717黎曼斯蒂尔切斯积分存在的必要条件
718黎曼斯蒂尔切斯积分的中值定理
719积分作为区间的函数
720积分学第二基本定理
721黎曼积分的变量替换
722黎曼积分第二中值定理
723依赖于一个参数的黎曼斯蒂尔切斯积分
724积分号下的微分法
725交换积分次序
726黎曼积分存在性的勒贝格准则
727复值黎曼斯蒂尔切斯积分
练习
进一步参考文献
第8章无穷级数与无穷乘积
81引言
82收敛的复数序列与发散的复数序列
83实值序列的上极限与下极限
84单调的实数序列
85无穷级数
86插入括号和去掉括号
87交错级数
88绝对收敛与条件收敛
89复级数的实部与虚部
810正项级数收敛性的检验法
811几何级数
812积分检验法
813大O记号和小o记号
814比值检验法和根检验法
815狄利克雷检验法和阿贝尔检验法
816几何级数∑zn在单位圆｜z｜=1上的部分和
817级数的重排
818关于条件收敛级数的黎曼定理
819子级数
820二重序列
821二重级数
822二重级数的重排定理
823累次级数相等的一个充分条件
824级数的乘法
825切萨罗可求和性
826无穷乘积
827对于黎曼ζ函数的欧拉乘积
练习
进一步参考文献
第9章函数序列
91函数序列的点态收敛性
92实值函数序列的例子
93一致收敛的定义
94一致收敛与连续性
95一致收敛的柯西条件
96无穷函数级数的一致收敛
97一条填满空间的曲线
98一致收敛与黎曼斯蒂尔切斯积分
99可以被逐项积分的非一致收敛序列
910一致收敛与微分
911级数一致收敛的充分条件
912一致收敛与二重序列
913平均收敛
914幂级数
915幂级数的乘法
916代入定理
917幂级数的倒数
918实的幂级数
919由函数生成的泰勒级数
920伯恩斯坦定理
921二项式级数
922阿贝尔极限定理
923陶伯定理
练习
进一步参考文献
第10章勒贝格积分
101引言
102阶梯函数的积分
103单调的阶梯函数序列
104上函数及其积分
105黎曼可积函数作为上函数的例子
106一般区间上的勒贝格可积函数类
107勒贝格积分的基本性质
108勒贝格积分和零测度集
109莱维单调收敛定理
1010勒贝格控制收敛定理
1011勒贝格控制收敛定理的应用
1012无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限
1013反常黎曼积分
1014可测函数
1015由勒贝格积分定义的函数的连续性
1016积分号下的微分法
1017交换积分次序
1018实线上的可测集
1019在R的任意子集上的勒贝格积分
1020复值函数的勒贝格积分
1021内积与范数
1022平方可积函数集合L2(I)
1023集合L2(I)作为一个半度量空间
1024关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理
1025里斯费希尔定理
练习
进一步参考文献
第11章傅里叶级数与傅里叶积分
111引言
112正交函数系
113最佳逼近定理
114函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数
115傅里叶系数的性质
116里斯费希尔定理
117三角级数的收敛性与表示问题
118黎曼勒贝格引理
119狄利克雷积分
1110傅里叶级数部分和的积分表示
1111黎曼局部化定理
1112傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件
1113傅里叶级数的切萨罗可求和性
1114费耶定理的推论
1115魏尔斯特拉斯逼近定理
1116其他形式的傅里叶级数
1117傅里叶积分定理
1118指数形式的傅里叶积分定理
1119积分变换
1120卷积
1121对于傅里叶变换的卷积定理
1122泊松求和公式
练习
进一步参考文献
第12章多元微分学
121引言
122方向导数
123方向导数与连续性
124全导数
125全导数通过偏导数来表示
126对复值函数的一个应用
127线性函数的矩阵
128雅可比矩阵
129链式法则
1210链式法则的矩阵形式
1211用于可微函数的中值定理
1212可微的一个充分条件
1213混合偏导数相等的一个充分条件…
1214用于从Rn到R1的函数的泰勒公式
练习
进一步参考文献
第13章隐函数与极值问题
131引言
132雅可比行列式不取零值的函数
133反函数定理
134隐函数定理
135一元实值函数的极值
136多元实值函数的极值
137带边条件的极值问题
练习
进一步参考文献
第14章多重黎曼积分
141引言
142Rn内有界区间的测度
143在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分
144零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则
145多重积分通过累次积分求值
146Rn内的若尔当可测集
147若尔当可测集上的多重积分
148若尔当容度表示为黎曼积分
149黎曼积分的可加性
1410多重积分的中值定理
练习
进一步参考文献
第15章多重勒贝格积分
151引言
152阶梯函数及其积分
153上函数与勒贝格可积函数
154Rn内的可测函数与可测集
155关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理
156零测度集的某些性质
157对于二重积分的富比尼归约定理
158可积性的托内利霍布森检验法
159坐标变换
1510多重积分的变换公式
1511对于线性坐标变换的变换公式的证明
1512对于紧立方体特征函数的变换公式的证明
1513变换公式证明的完成
练习
进一步参考文献
第16章柯西定理与留数计算
161解析函数
162复平面内的路与曲线
163围道积分
164沿圆形路的积分作为半径的函数
165对于圆的柯西积分定理
166同伦曲线
167围道积分在同伦下的不变性
168柯西积分定理的一般形式
169柯西积分公式
1610回路关于一点的卷绕数
1611卷绕数为零的点集的无界性
1612用围道积分定义的解析函数
1613解析函数的幂级数展开
1614柯西不等式与刘维尔定理
1615解析函数零点的孤立性
1616解析函数的恒等定理
1617解析函数的最大模和最小模
1618开映射定理
1619圆环内解析函数的洛朗展开
1620孤立奇点
1621函数在孤立奇点处的留数
1622柯西留数定理
1623区域内零点与极点的个数
1624用留数的方法求实值积分的值
1625用留数计算的方法求高斯和的值
1626留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用
1627共形映射
练习
进一步参考文献
特殊符号索引
索引

1997~1998年我在美国作高级访问学者的时候，曾与几位朋友一起到加州理工学院出席过南加州北京大学校友会活动，那时我就知道加州理工学院是一个非常出色的学校，我们十分喜欢的数学软件Mathematica的创始人Stephen Wolfram就毕业于加州理工学院．后来，我的北大校友高速在UCLA（加利福尼亚大学洛杉矶分校）取得博士学位后到加州理工学院作博士后研究，我们经常保持联系，无形中我对加州理工学院产生了更加亲切的感觉．所以，今年初，当机械工业出版社推荐英文原版书让我翻译时，我非常高兴地选择了加州理工学院的Tom MApostol教授所著的这本《数学分析》．
　　本书是与我国读者比较熟悉的Walter Rudin的《Principles of Mathematical Analysis》和《Real and Complex Analysis》齐名的现代数学名著．自20世纪70年代问世以来，一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，被许多知名大学指定为教材．
　　本书对于我国高校数学分析及函数论课程的设置及教材改革颇具参考价值．
　　如果说几十年前我国大学数学类专业开设数学分析、解析几何、高等代数、复变函数、实变函数、点集拓扑、泛函分析等等基础课、专业基础课及专门化的课程觉得四年的时间很紧张（因而曾有过五年甚至六年学制的尝试）的话，那么，在计算机基础及应用、程序设计语言、数学软件、数据结构、软件工程等计算机类课程也都成为了数学与应用数学专业以及信息与计算科学专业学生的课程的今天，四年的时间就更显得紧张．
　　一方面时间紧、课程多，另一方面时间的利用存在着浪费的现象，不同课程中的内容有一定的重复．比如，集合论基础的某些内容在数学分析、解析几何、高等代数、复变函数、实变函数、点集拓扑、泛函分析及其他一些课程中都要介绍；复变函数论课程的一些概念、理论、方法甚至习题的内容与数学分析课程有相当多的重叠．内容的重复不仅造成时间的浪费，而且有时不同的课程、不同的教材对同样的概念采用不同的记号，还会给学生造成更多无谓的麻烦．这个矛盾不仅在中国存在，在发达国家，例如美国，当然也存在．美国在计算机方面走在世界的前列，他们也必然更早地感受到了对课程和教材进行改革的必要性．
　　美国大学在课程设置及教材方面的一些做法可以供我们参考和借鉴．我们还没有机会对美国等国家大学数学类或数学与计算机类专业的课程设置及教材状况进行全面的考察，但是从各种渠道，我们对美国大学的情况也多少有一些了解．
　　在美国，数学分析分为初等微积分和高等微积分．初等微积分相当于我们的一元及多元微积分，高等微积分除了我们的数学分析中的一些内容之外，还包括复变函数论和实变函数论等内容．美国的大学本科生要学数学分析，研究生阶段仍然要学数学分析（高等微积分）．
　　我国大学本科生的课程比美国的深，既学数学分析（相当于美国的初等微积分），又学复变函数论和实变函数论（基本包含美国的高等微积分）．我国数学及相关专业的本科生进入研究生阶段之后，一般不再有数学分析课程，也不再把已在本科学过的留数定理和勒贝格积分等内容纳入哪门课程来学．
　　本书既包括我国大学的数学分析课程的内容，又包括勒贝格积分及柯西定理和留数计算，所以包括我们的数学分析以及实变函数论与复变函数论的主要内容．
　　本书在美国既作为本科生教材又作为研究生教材，但是在我国只能作为本科生教材，只是我们的数学分析中一般不介绍斯蒂尔切斯积分，而且不介绍该书所包含的一些较新的成果．
　　如果使用本书作为教材，可以对我们现行课程设置中的数学分析、实变函数论、复变函数论进行综合改革，这样会促进教材内容有一定的现代化，避免一些重复，从而使总学时得到适当的削减．本书条理清晰，内容精练，言简意赅，在正文及练习中包含较新的成果，但不像前苏联的教材那样细腻．我国传统的教材受前苏联的影响较大，因而在使用本书时，也许一方面会有一些新鲜感，另一方面也许不会像我们已习惯的教材那样驾轻就熟，因而需要进行试验，需要加强教学研究．
　　关于本书术语的翻译，我们主要参考了科学出版社在2002年出版的《新英汉数学词汇》一书．例如“triangle inequality”，以前的书中“三角不等式”和“三角形不等式”的译法都有．我个人觉得后者比前者更形象、更直观，因而更好．可是《新英汉数学词汇》用的是前者，所以我们在本书中也译为前者．
　　还有几个地方我们也参照《新英汉数学词汇》采用了与习惯说法稍有不同的译法．
　　本书由邢富冲、邢辰、李松洁、贾婉丽共同翻译完成，由于时间仓促，而且水平有限，不当之处在所难免，希望广大读者批评指正．

邢富冲
2005年10月于北京