本书通过大量丰富的实例，帮助读者从基本的常微分方程向更多高级概念（偏微分方程、傅里叶级数和边界值问题等）顺利过渡。作者轻松的语言风格使得书中的材料通俗易懂，尤其适合那些渴望了解更多和更深微积分知识的读者。
　　本书强调理论与实践相结合，介绍了大量偏微分方程在工程和物理学方面的应用，并且提供了相关数学证明和偏微分方程的原理。此外，本书的每一节后都配备了大量的习题，并提供了注释、图标或重要的公式等，突出了书中的重点与难点，方便读者自学。
　　本书提倡读者利用计算机辅助学习，旨在使读者更直观、更清晰地理解和掌握书中所讲述的题材。读者可以利用从作者网站上下载的Mathematica文件进行上机实践。

无

自本书第1版出版以来，我很高兴地收到了来自读者的积极回应．这一版采纳了他们的许多建议，如更多的源自工程和物理的应用、更多的数学证明与理论．为保持原版的组织结构，这些变化体现在章后面的新增小节里．
　　本书旨在作为偏微分方程和边值问题（包括傅里叶级数）的现代基础教材，供学完常微分方程基础课程的学生使用．
本书内容与安排
　　本书是为了读者较好地从常微分方程基础课程过渡到偏微分方程基础课程而设计的．虽然本书面向那些强调应用的工程、数学和物理等专业的学生，但本版新增内容为教师提供了多种选择：以理论为主的偏微分方程课程，或者强调边值问题和傅里叶级数的偏微分课程．除了偏微分方程基础课程的核心内容（参见下面的“教学安排”）外，本书还包含许多特别专题，教师可以根据需要讲授，或者作为专题研究的题目．这些基于核心内容的高级专题基本上是相互独立的．
预修要求
　　在附录A中，汇总了一些线性常微分方程的基本理论，包括级数法．教师可以根据需要将这些内容仔细讲授或完全省略，这是为了方便那些已经学过的学生查阅．特别是，A4～A6节包含了对幂级数方法和弗罗贝尼乌斯方法的详细讨论，适合于那些第一次接触这些内容的学生阅读．有鉴于现在在常微分方程基础课程中省略级数方法这一趋势，我认为有必要对这些内容作较为详细的讨论．
习题和计算机辅助教学
　　每一节的习题都以一组基础题开始，这些基础题是为了加深读者对该节基本概念的理解而设计的；接着是难度较大的提高题，引导读者对概念进行更深入的理解．这些提高题通常都给出了详细的提示，以使绝大多数学生都可以完成．有些节包含了专题问题，专题问题是一些较长的习题，其结果有一定价值或涉及相关的应用．专题问题可以由学生独自完成，或由小组共同完成，或由教师作进一步的讲解．
　　虽然本书是从传统观点来编写的，无需计算机辅助教学，但还是包含了一些需要利用计算机的例题和习题．需要用计算机的习题都标上了计算机标记，这些问题都是要求学生利用计算机辅助作图功能研究一些问题（例如，一些特殊函数的傅里叶展开、贝塞尔展开、勒让德展开以及其他展开形式的部分和序列的收敛性），以及计算那些用手工不易计算出来的数值数据（例如，广义傅里叶级数的系数和超越方程的根）．
本版新增内容
本版显著的变动如下：
 22节增加了一些傅里叶级数的例题和习题，这些例题和习题建立在图形基础上，用于增强学生阅读和理解傅里叶级数图形表示的能力．
 27节是新的，该节包含了应用傅里叶级数求解机械或电子系统的受迫振动．我们的讨论超越了该领域的典型步骤，通过对傅里叶级数解的分析，讨论了一种抑制系统高振荡的方法．
 28节以及29节的大部分内容是新的．第2章最后三节较完整地讨论了傅里叶级数的逐点收敛以及一致收敛问题，包括分段光滑函数的傅里叶级数表示定理的完整证明．这些内容的巧妙安排使之更适合于课堂教学．
 34节做了扩充，包含了特征线、平行图等方法，以及达朗贝尔解的依赖区间．
 310节是新的，它研究了在矩形区域上具有罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题．
 44节做了扩充，以包含平面中的圆盘、楔形、片状区域上具有罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的边值问题．
 49节是新的，讨论了贝塞尔函数的一些重要的高级性质，如积分表示和渐近公式．本节还初步介绍了定常相方法，工程师、物理学家和应用数学家对此非常感兴趣．
 66节和67节是新的，这两节介绍了双调和方程和板振动理论．这两节综合运用了前面几节中的许多重要方法（贝塞尔函数的渐近公式、特征函数展开法和广义傅里叶级数等）．
 72节增加了一些关于卷积的新例子，讨论了卷积在求解边值问题时的作用．
 78节是新的，讨论了广义函数、分段光滑函数的导数、卷积及其在计算分段光滑函数的傅里叶变换中的应用．
 79节和710节是新的，这两节包括杜阿梅尔原理及其在非齐次热传导方程和波动方程中的应用，还引入了偏微分方程的基本解和弱解等概念．虽然这些内容看起来是纯理论性的，但这两节包含了很多有趣的应用和习题，以激发第一次接触它们的学生的学习兴趣．
 第12章关于格林函数和共形映射的内容是新的，这是一个关于格林函数和共形映射的自封式的处理．和本书其他部分一样，这一章也是按照便于阅读的方式编写的，该章包含了许多有趣的习题和应用．121节从线积分的基本性质开始，证明了格林定理，导出格林公式，最后证明了调和函数的基本性质；在122节和123节中，证明了调和函数的高斯平均值性质和最大模原理，导出了格林函数，讨论了它们的理论和物理意义．123节还讨论了求解格林函数的特征函数法；在124节中，运用镜像法推导出格林函数；125节从多方面介绍解析函数及其在偏微分方程中的应用，该节包含柯西黎曼方程以及许多有关解析函数在求解狄利克雷问题中的相关应用；126节介绍了共形映射及其在边值问题中的应用；在127节和12 8节中，运用共形映射推导出格林函数和诺伊曼函数．
 附录A4是新的，综述了幂级数知识，为其后几节有关幂级数方法的讨论做了铺垫．
教学安排
 偏微分方程基础课程．该课程包含如下核心内容：
　　— 第1章；
　　— 21~24节,26 节；
　　— 第3章（39～311节为可选内容）；
　　—　41节,42节,44节（如需要，可选讲47节和48节）；
　　— 51节,52节（如需要，可选讲55节和56节）；
　　— 61节,62节；
　　— 71～77节；
　　— 83节（如需要，可选讲81节和82节）．
 强调工程应用的偏微分课程．将第5章的内容替换为下面任何一节即可：27节,63节,65节,66节和67节．
 强调物理应用的偏微分课程将第7、8章的小节替换为第5、11章的小节．
 强调数学证明的偏微分课程包含28~210节．
　　第12章关于格林函数的内容以及49节、66节、67节和78~710节，更适合给低年级研究生或高年级本科生讲授．
相关网站
　　作者的Mathematica文件和一本学生解题手册(Student Solutions Manual)，以及其他有关本书的补充材料，可以从作者的网站http://wwwmathmissouriedu/~nakhle上下载，也可登录华章网站免费下载．想得到教师解题手册（Instructor Solutions Manual）的教师可以直接通过电子邮件nakhle@ mathmissouriedu与作者联系．
　　此外，希望扩充125节中的复变量内容的教师可以参考NAsmar教授的另外一本书《Applied Complex Analysis with Partial Differential Equations》（在GJones帮助下完成）,由Prentice Hall出版社于2002年出版．在教师的要求下，征得该书编辑同意，该书中的材料可以提供给学生．
致谢
　　Stephen MontgomerySmith教授(密苏里大学)向我提出了许多关于本书新版的建议，在此向他表示感谢．我也非常感谢下面几位审稿人：Grant W Hart教授（杨百翰大学物理系）、Robert BIsrael教授（英国哥伦比亚大学数学系）、 David GRetzloff（密苏里大学化学工程系）、 Jun Yu（佛蒙特大学数学与统计系），他们慷慨地与我分享了关于本书新版的一些思想．我也很高兴地感谢Darryl Yong教授（Harvey Mudd学院数学系）和Mark Lammers教授（北卡罗来纳大学威尔明顿分校数学系）．
　　对Ghazi Asmar教授（圣母玛利亚大学黎巴嫩分校机械工程系）在27节、64节、66节和67节中提供的帮助表示衷心的感谢．同样感谢下面几位数学家：Mark W Coffey(科罗拉多大学丹佛分校)、Richard Ford（加州州立大学奇科分校）、Stephen JGreenfield（拉特格大学）、Mark Kon（波士顿大学）、William GMargulies和Saleem Watson(加州州立大学长滩分校)，他们是本书第1版的审稿人．我很荣幸地向Richard Winkel在计算机技术上提供的帮助表示感谢．
　　本书的编辑——Prentice Hall出版社的George Lobell向我提供了许多支持、建议和鼓励，在此向他表示感谢．同时感谢Prentice Hall出版社的制作编辑Barbara Mack的帮助和建议．
　　我特别感谢家人对我的支持．我很荣幸地将此书献给我的妻子Gracia、我们的孩子Julia和Thomas，以及我的双亲Habib和Mounira．

第1章应用与方法概述
11什么是偏微分方程
12求解并解释偏微分方程
第2章傅里叶级数
21周期函数
22傅里叶级数
23以任意数为周期的函数的傅里叶级数
24半幅展开：余弦级数和正弦级数
25均方逼近和帕塞瓦尔恒等式
26傅里叶级数的复数形式
27受迫振动
28傅里叶级数表示定理的证明
29一致收敛性和傅里叶级数
210狄利克雷判别法和傅里叶级数收敛性
第3章直角坐标中的偏微分方程
31物理学和工程技术中的偏微分方程
32建模：弦振动和波动方程
33一维波动方程的求解：分离变量法
34达朗贝尔方法
35一维热传导方程
36棒中的热传导：各种边界条件
37二维波动方程和热传导方程
38直角坐标中的拉普拉斯方程
39泊松方程：特征函数展开法
310诺伊曼条件和罗宾条件
311最大值原理
第4章极坐标与柱面坐标中的偏微分方程
41各个坐标系中的拉普拉斯算子
42圆形膜的振动：对称情况
43圆形膜的振动：一般情况
44圆域中的拉普拉斯方程
45圆柱体中的拉普拉斯方程
46亥姆霍兹方程和泊松方程
47贝塞尔方程和贝塞尔函数
48贝塞尔级数展开
49贝塞尔函数的积分公式和渐近式
第5章球面坐标中的偏微分方程
51问题和方法概述
52对称狄利克雷问题
53球面调和函数和一般狄利克雷问题
54亥姆霍兹方程及其对泊松方程、热传导方程和波动方程的应用
55勒让德微分方程
56勒让德多项式和勒让德级数展开
57相伴勒让德函数和相伴勒让德级数展开
第6章施图姆刘维尔理论及其在工程技术中的应用
61正交函数
62施图姆刘维尔理论
63悬链
64四阶施图姆刘维尔理论
65梁的弹性振动和屈曲
66双调和算子
67圆盘的振动
第7章傅里叶变换及其应用
71傅里叶积分表示
72傅里叶变换
73傅里叶变换法
74热传导方程和高斯核
75狄利克雷问题和泊松积分公式
76傅里叶余弦变换和正弦变换
77半无限区间上的问题
78广义函数
79非齐次热传导方程
710杜阿梅尔原理
第8章拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用
81拉普拉斯变换
82拉普拉斯变换的进一步性质
83拉普拉斯变换法
84汉克尔变换及其应用
第9章有限差分数值方法
91热传导方程的有限差分法
92波动方程的有限差分法
93拉普拉斯方程的有限差分法
94拉普拉斯方程的迭代法
第10章抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用
101抽样定理
102偏微分方程与抽样定理
103离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
104傅里叶变换与离散傅里叶变换
第11章量子力学引论
111薛定谔方程
112氢原子
113海森伯格不定性原理
114埃尔米特多项式和拉盖尔多项式
第12章格林函数和共形映射
121格林定理和恒等式
122调和函数和格林恒等式
123格林函数
124圆盘和上半平面的格林函数
125解析函数
126利用共形映射求解狄利克雷问题
127格林函数与共形映射
128诺伊曼函数和诺伊曼问题的解
附录A常微分方程：概念和方法的回顾
附录B变换表
参考文献
部分习题答案
索引

偏微分方程这门学科产生于18世纪，是由对弦振动的研究而兴起的，并在19世纪得到迅速发展．
　　本书通过大量丰富的实例，在各种坐标系中论述了基本的偏微分方程及其定解问题的求解方法，并讨论了解的性质，特别强调了傅里叶级数在求解边值问题中的作用．为了求解，书中介绍了偏微分方程中常用的特殊函数，例如，勒让德函数、贝塞尔函数等．另外，还介绍了与求解偏微分方程有关的基本计算方法．
　　本书内容丰富，物理背景清楚，层次分明，推导严密，图文并茂，并配有丰富的例题与习题，难易适度．特别是专题问题，它针对某个具体问题进行了较为系统的研究，是正文内容的补充和扩展．本书可作为高等院校理工科学生和教师的教材，同时也可作为工程技术人员、科技工作者的参考书．
　　本书由中国科学技术大学数学系陈祖墀教授和宣本金副教授翻译．陈祖墀翻译第4章、第5章、第9章和索引，其他部分均由宣本金翻译，陈祖墀对译文作了统一校对．对原著中细小的笔误和印刷错误，在翻译时进行了必要的修改和纠正．对于书中所涉及的数学术语和外国人名，尽可能参照科学出版社2002年版的《新英汉数学词汇》和广东科技出版社1991年版的《英俄汉数学词汇》．
　　由于时间仓促，水平有限，译文难免有不妥之处，敬请有关专家、读者指正，以便再版时更正．

译者