本书囊括了近一个世纪以来代数理论发展的主要成果，涉及群、环、域、模、代数、范畴和同调等方面的基本理论，并介绍了当前各主要分支的研究状况，兼具理论的深度和广度。除了采用定义-定理-证明的方式进行组织外，书中还将结果和概念与具体的应用上下文相结合，这样便于学生直观理解相应主题。

本书特点
　　●涵盖其他教材中不常见的主题，例如，正向极限与反向极限、欧几里得环、格罗布纳基、Ext和Tor、尼尔森-施赖埃尔定理、PSL (2, q )的单性等，便于学生更宽泛地理解近世代数。
　　●包括许多例子和反例以及练习，方便学生通过实践理解概念。
　　●介绍佐恩引理（包括科恩定理）的应用、代数闭域的存在性与唯一性、超越次数、极大可分离扩张等。
　　●详细地讨论集合论，讲述函数究竟是什么，使得学生可以判定两个函数何时相等、佐恩引理的等价性等。
　　●第5章给出有限阿贝尔群基本定理的证明，第9章则给出将其推广到PID上的有限生成模的证明，这样更便于学生理解，使他们看到证明是怎样转化成模的语言的。
　　●前三章包含了许多基础内容，从而使背景不同的学生可以顺利过渡到该课程的学习中来。
　　●介绍多变量多项式的相关内容，例如唯一因子分解、希尔伯特基定理、零点定理、仿射簇的不可约分量、准素分解等。
　　●给出近世代数各重要概念形成的线索和历史，附有大量关于发明者和专用名词的考证资料。

无

事实上所有的数学分支，如分析学、组合学、计算机科学、几何学、逻辑学、数论和拓扑学都要用到代数.现在每个人都会赞同具备一些线性代数、群和交换环的知识是必需的，这些课题已经在大学课程中作了简介，而本书将在此基础上继续深入研究
　　本书可作为研究生一年级的代数教材，但并不仅限于此 它也可作为有志于本领域的高年级研究生的自学用书；本书虽然没有达到学科前沿，然而提供了一个领域中所取得的成就和方法最后，本书是一本参考书，它包含了使用代数的人必须知道的许多通常定理和定义. 因此，本书不仅是一碟开胃小菜，也是一席丰盛大餐.
　　在我的学生时代，伯克霍夫(Birkhoff)和麦克莱恩(Mac Lane)所著的《A Survey of Modern Algebra》是我的第一本代数课本，范德瓦尔登(van der Waerden)所著的《Modern Algebra》是第二本代数课本.它们都是极好的书（我把本书命名为《Advanced Modern Algebra》以示对他们的敬意）.但自这两本书问世之后，时代已经变迁:伯克霍夫和麦克莱恩的书于1941年问世，范德瓦尔登的书于1930年问世现在有许多研究方向60年前或者尚未存在，或者它们的重要性还没有被人们所认识，这些新方向包括代数几何、计算机、同调和表示论（麦克莱恩和伯克霍夫曾改写了《A Survey of Modern Algebra》一书，书名为《Algebra》，Macmillan，New York，1967，该版本介绍了范畴方法；范畴论源于代数拓扑，后被格罗滕迪克（Grothendieck）用于改革代数几何）.
　　对使用本书作为研究生一年级课本的读者和教师说几句话.如果假定每个人都读了我的《A First Course in Abstract Algebra》，那么学习本书的先决条件自然就具备了，但这是不现实的有大量不同的大学课程介绍抽象代数，其中，有许多局限于实数域上的矩阵和向量空间，强调求解线性方程组；而另一些把向量空间建立在任意域上，并包括了若尔当典范型和有理典范型；一些讨论了西罗定理，而另一些没有；一些讲述了有限域的分类，而另一些没有.
　中文书名为《抽象代数基础教程》，由机械工业出版社引进出版.——编辑注
　　为适合具有不同背景的读者，前三章包含了许多熟知的内容，其中只有证明概要. 第1章包括算术基本定理、同余、棣莫弗定理、单位根、分圆多项式以及诸如等价关系和在对称群中验证群公理等一些集合论的通常概念.接下来的两章既有熟知的内容，也有不熟知的内容，“新”结果是在初等课程中很少讲到的，有完整的证明，而“老”结果的证明通常是概要的. 具体地说，第2章是群论的导引，复习置换、拉格朗日定理、商群、同构定理和群在集合上的作用. 第3章是交换环的导引，复习整环、分式域、一元多项式环、商环、同构定理、不可约多项式、有限域以及任意域上的线性代数. 读者可以用这些章节的“较老”部分来唤醒自己的记忆（也可以熟悉我所选用的记号）；另一方面，对于那些在早期课程中未曾学过此方面知识的人，这些章节也可以作为学习指导（完整的证明可以在《A First Course in Abstract Algebra》中找到）.这种形式可以使教师根据学生的水平自由地选择合适的讲授起点. 我想多数教师会从第2章的中间某处开始，然后在第3章的中间某处继续. 这种形式也方便了作者，使我在讨论或证明时回顾那些早期的结果. 在随后的章节中证明都是完整的、不省略的.
　　我力图表达清楚并给出完整的证明，只省略那些确实十分简单的部分，因此教师不必在讲课中面面俱到，学生可以自己阅读课文.
　　以下是本书后面几章的详细内容.
　　第4章从介绍伽罗瓦理论开始，讨论环和群相互关联的产物——域. 证明一般五次多项式的不可解性和伽罗瓦理论的基本定理及其应用，如证明代数基本定理和伽罗瓦定理——特征0的域上的多项式有根式解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群.
　　第5章涵盖了有限阿贝尔群（基定理和基本定理）、西罗定理、若尔当赫尔德定理、可解群、线性群PSL(2,k)的单性、自由群、表现和尼尔森施赖埃尔(NielsenSchreier)定理（自由群的子群是自由的）.
　　第6章介绍交换环的素理想和极大理想; 高斯定理——R是UFD(唯一因子分解整环），则R[x]也是UFD；希尔伯特基定理、佐恩引理在交换代数中的应用（附录中有佐恩引理和选择公理等价性的证明）、不可分性、超越基、吕罗特(Lüroth)定理、仿射簇，包括对不可数代数闭域上的零点定理的证明（第11章对任意代数闭域上的簇， 给出了零点定理的完整证明）；准素分解；格罗布纳（Grbner）基.第5章和第6章选自《A First Course in Abstract Algebra》中的两章，但多数大学课程中没有包含这两章的内容.
　　第7章介绍交换环上的模（主要证明一切R模和R映射形成阿贝尔范畴）；范畴和函子（包括积和余积)、拉回和推出、格罗滕迪克群、反向极限和正向极限、自然变换；伴随函子；自由模、投射和内射.
　　第8章介绍非交换环，证明有限除环是交换环的韦德伯恩(Wedderburn)定理，以及作出半单环分类的韦德伯恩阿廷(WedderburnArtin)定理. 用张量积、平坦模和双线性型讨论非交换环上的模. 接着介绍特征标理论，以此证明pmqn阶有限群是可解群的伯恩赛德（Burnside）定理. 最后介绍多重传递群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius）群，证明弗罗贝尼乌斯核是弗罗贝尼乌斯群的正规子群.
　　第9章考察主理想整环(PID)上的有限生成模（推广了前面关于有限阿贝尔群的定理），随后把这些结果应用到域上的矩阵，讨论它的有理典范型、若尔当典范型和史密斯（Smith）正规型（利用史密斯正规型可以计算矩阵的初等因子）. 接着给出PID上的投射模、内射模和平坦模的分类. 对k是交换环的分次k代数的讨论，导出张量代数、中心单代数和布饶尔（Brauer）群、外代数（包括格拉斯曼(Grassmann)代数和二项式定理）、行列式、微分形式和李代数简介.
　　第10章从半直积和群的扩张问题开始介绍同调方法，然后用因子组展示扩张问题的施赖埃尔(Schreier)解，直至舒尔扎森豪斯(SchurZassenhaus)引理. 随后是刻画Tor和Ext的公理（用导函子证明这些函子的存在性）、若干群的上同调、少量叉积代数和谱序列简介.
　　第11章回到交换环，讨论局部化、整扩张、一般的零点定理 (用约翰逊环)、戴得金环、同调维数、如同刻画有限整体维数的诺特局部环那样给出正则局部环的塞尔(Serre)刻画定理、正则局部环是UFD的奥斯兰德布赫斯包姆(AuslanderBuchsbaum)定理.
　　每一代人都应纵览和总结代数学使之服务于到来的时代.
　　感谢下列数学家，他们的建议极大地改善了我的初稿：Ross Abraham、Michael Barr、Daniel Bump、Heng Huat Chan、Ulrich Daepp、Boris A. Datskovsky、Keith Dennis、Vlastimil Dlab、Sankar Dutta、David Eisenbud、E. Graham Evans、Jr.,Daniel Flath、Jeremy J. Gray、Daniel Grayson、Phillip Griffith、William Haboush、Robin Hartshorne、Craig Huneke、Gerald J. Janusz、 David Joyner、Carl Jockusch、David Leep、Marcin Mazur、Leon McCulloh、Emma Previato、Eric Sommers、Stephen V. Ullom、Paul Vojta、William C. Waterhouse和Richard Weiss.

Joseph Rotman

第1章相关知识回顾
11数论
12单位根
13集合论
第2章群Ⅰ
21引言
22置换
23群
24拉格朗日定理
25同态
26商群
27群的作用
第3章交换环Ⅰ
31引言
32基本性质
33多项式
34最大公因式
35同态
36欧几里得环
37线性代数
371向量空间
372线性变换
38商环和有限域
第4章域
41五次方程的不可解性
411求根公式与运用根式可解性
412转化为群论
42伽罗瓦理论的基本定理
第5章群Ⅱ
51有限阿贝尔群
511直和
512基定理
513基本定理
52西罗定理
53若尔当赫尔德定理
54射影幺模群
55表现
56尼尔森施赖埃尔定理
第6章交换环Ⅱ
61素理想和极大理想
62唯一因子分解整环
63诺特环
64佐恩引理的应用
65簇
66格罗布纳基
661广义带余除法
662Buchberger 算法
第7章模和范畴
71模
72范畴
73函子
74自由模、投射和内射
75格罗滕迪克群
76极限
第8章代数
81非交换环
82链条件
83半单环
84张量积
85特征标
86伯恩赛德定理和弗罗贝尼乌斯定理
第9章高等线性代数
91PID上的模
92有理典范型
93若尔当典范型
94史密斯正规型
95双线性型
96分次代数
97可除代数
98外代数
99行列式
910李代数
第10章同调
101引言
102半直积
103一般扩张和上同调
104同调函子
105导函子
106Ext和Tor
107群的上同调
108叉积
109谱序列介绍
第11章交换环Ⅲ
111局部和整体
112戴得金环
1121整性
1122回到零点定理
1123代数整数
1124戴得金环的刻画
1125戴得金环上的有限生成模
113整体维数
114正则局部环
附录选择公理和佐恩引理
参考文献
索引

作者在前言中说: “每一代人都应纵览和总结代数学使之服务于到来的时代” 这是作者对本书提出的任务这本书囊括了近一个世纪以来代数学发展的主要成果,涉及群、环、 域、模、代数、范畴和同调等方面的基本理论,并概览当前各主要分支研究的状况作者有意继承上个时代的经典著作,为我们这个时代的代数学者提供一个合适的起点,本书完成了这一历史任务,无愧于继承者的职责
　　作为研究生的代数教材，这样生动的表述是很少见的,也许我们可以从不同的代数著作中学习重要的概念和结果,在逻辑上编织一个理论的体系,然后逐渐领悟到一些思想的萌发和发展的线索,但也可能我们未能觉察出内在的动力而感到茫然 这本书引领我们沿着代数思想发展的线索,步步深入,画出一条埋伏在逻辑之下的红线,这是本书的突出特色,不妨举几个例子
　　当我们沿着代数的峭岩向上攀登的时候,一个接着一个的抽象险峰挡在我们前面,也许我们来不及思考代数为什么构造那样多的抽象,书中解释了这个现象——抽象使我们更加经济有效,用抽象建立的定理可以一劳永逸地运用于各种相关的具体场合,不仅如此,抽象还把事物的本质揭示得更为清晰,从而可以轻而易举地证明某些事实 书中令人信服地举出有限群的每个元素的阶有限的例子,使我们领悟到抽象思想产生的内在动力,从而从具体的置换群走到抽象的群,从抽象的群、环、域、模等走到抽象的抽象——范畴
　　伽罗瓦理论解决了多项式的根式可解性问题,从根式可解到伽罗瓦群有一条逻辑的长链——难怪伽罗瓦被公认为杰出的天才,书中把正多边形上的对称群和伽罗瓦理论的要素对应起来,生动地阐述了伽罗瓦理论
　　学了很多群的知识,也许我们没有想过群到底是什么,书中点出群是描述对称的难道这没有使我们多少悟出一点群的内涵吗?
　　纯代数地介入同调使我们十分茫然,书中从拓扑中的边界问题指明了同调理论的起源,使我们多少有些启发
　　又例如,由费马最后定理 (即费马大定理) 引发戴得金环的研究; 由罗素悖论导致公理集合论的建立; 希尔伯特基定理的非构造性证明,穿插进关于戈丹(Gordan)的趣闻
　　只有具备下列三个条件才能写出这样的教材: 理论的深度和广度,丰富的教学经验,出色的表达能力
　　本书还提供了大量考证：一个术语是怎样得来的,为什么起这个名称,由谁首先使用,例如自由群、自由模、挠群、挠模、同态、同调、同伦、正合、射影幺模群、交错群、环、根理想、辛群、 G理想等；一个定理由谁得到,或由谁得到部分结果,又由谁加以完善，例如凯莱的一个结果起先是正确的,后来却又有疑问了,不禁感叹“智者千虑,必有一失”这种考证不仅使我们增加了历史知识,纪念那些创立概念和发现定理的杰出人物,而且也使我们从中悟出思想发展的进程,帮助我们明确和记忆一个术语所界定的概念
　　作者说他尽量写得详细,感谢作者的巨细靡遗,为此我们可以像聆听作者亲自讲授一样阅读本书,从而使本书也可以作为极佳的自学教材
　　最后,这是一本参考书，“它包含了使用代数的人必须知道的许多通常定理和定义”当今数学的分支越来越细,大多数代数学者都在某一个分支进行工作,而各个分支不可避免地和代数学的主干相遇,具备这样的一本参考书,是十分有益的另外，书后的索引可使我们方便地查找有关的术语和结果
　　在翻译过程中，参考作者网站(http://wwwmathuiucedu/~rotman/)上给出的勘误表以及翻译过程中新发现的错误，对译稿进行了修改.
　　译完本书,译者深切地感到这本书 “不仅是一碟开胃小菜，也是一席丰盛大餐”
　　本书的翻译得到同济大学叶家琛教授的很多帮助,谨表示衷心的感谢 对于审阅本稿或部分审阅本稿并指出错误的各位一并表示感谢 原著的某些疏漏虽然做了更正,但新的疏漏又会出现,加之译者水平有限,差错之处恳请广大读者指正

译者
于同济西苑