动力系统是非线性科学的重要组成部分，目前已在数学、统计学、物理学、信息与计算科学等领域得到了广泛的应用。本书概括地介绍了动力系统的基础理论知识与基本研究方法。全书分为两部分：第一部分主要介绍非线性常微分方程组的各个方面，第二部分主要介绍与叠函数有关的内容。书中每一章的内容均按照“基本概念+应用+理论与证明+练习”的形式组织，有条不紊，十分适合教学使用。
　　本书既可作为高等院校相关专业常微分方程定性理论与分支或动力系统课程的教材或教学参考书，又可供专门从事动力系统理论研究的学者和工程技术人员参考。

无

本书可作为高年级本科生非线性常微分方程或动力系统课程的教材，书中部分内容也可在低年级研究生课程中讲授．本书旨在提供计算的范例和方法，同时介绍相关数学概念．无论是介绍动力系统有关应用的概念还是更带理论性的数学引论的课程，主讲教师均可从本书选材．进一步的使用说明可参考下列“组织结构”中的有关说明．
　　本书假定学生选修过单变量和多变量微积分、线性代数和微分方程导论的课程．多变量微积分中有关偏导数的素材在本书中广泛使用，少数地方还用到多重积分和面积分(见附录A)．特征值和特征向量是书中用到的线性代数的主要概念，有关线性代数的其他主题请见附录C．微分方程基础知识只在本书第一部分用到，我们假定学生能用变量分离法解一阶方程，并了解二阶标量方程解的形式．选修过微分方程基础课程的学生通常对常系数线性系统（至少有实特征值的情形）比较熟悉，但本书第2章重述了部分材料，其中对相图也进行了介绍．没有选修过微分方程基础课程的学生也能够理解这里介绍的新材料，但需要用额外的努力弥补所缺少的必要背景知识．最后要提到的是，阅读本书并不要求学生学过实分析或高等微积分的课程．然而,使用这些课程中的一些术语会带来方便，为此,我们提供了一个有关连续性和拓扑学术语的附录．
组织结构
　　本书分两部分介绍动力系统的概念，两部分无先后之分：第一部分讨论非线性常微分方程组的各个方面，第二部分讨论叠函数的相关方面．两部分中任一部分均可用于一学期、两学期甚至一学年的课程．在美国西北大学我们开设了两门课程，一门课程用一学期讲授第一部分，另一门课程用两学期讲授第二部分．在一学期的微分方程课程中，很难讲授混沌吸引子，甚至不得不略去各章末尾的许多应用实例和证明．一学期的微分方程也可能从第9~11章选用有关叠函数的题材．在用本书第二部分的离散动力系统课程中，我们用一学期讲授一维叠函数（第9～11章）的大部分材料．有关高维叠函数（第12～13章）的材料当然依赖于一维函数的材料，一学期的课程则可以在讲授第9～11章时融入一些高维函数的例子．最后，第14章分形可放在几章之前讲授，分形维可在微分方程课程结束时结合到混沌吸引子的材料中讲授，分形维或叠函数系统的材料可在一维叠函数的课程中讲授．

　 这里是指每学年分为四学期制度中的一学期．——编辑注
　　各章前面几节主要讲解概念，其后一节介绍某些应用，再后面一节是对较难结果的证明和更具理论性的材料．这种节之间的材料划分带有某种随意性．例如，有关竞争种群和捕食与被捕食体系的材料就安排在相关章的前面几节之一中，而不是放在各章末的应用部分，因为这些主题是为展现主要方法服务的．另外，把某些含有较复杂计算和有助于使概念更加清晰的证明放在一些主要节中．对较长且技巧性较强的证明和进一步的理论探讨分别在每一章的结尾给出．
　　对于着重从应用出发来讲授动力系统概念的课程，可从本书主要章节选材，不用各章末尾有关应用和包含更多理论材料的几节．
　　各章应用部分提供动力系统的诱导因素，并说明概念的用处．这一节的材料并不是后面主要章节的论述所必需的．这部分材料越多越能加强应用性．
　　用本书作为教材，教师可以通过舍弃较繁难的证明界定课程的理论水平．具有较高理论水准的课程可以考虑采用各章后面的大部分证明．
计算机程序
　　本书并未明确介绍计算机编程问题．但是，选用的一些习题需要用计算机模拟产生微分方程的相图或叠函数．Sample Maple电子表格可从网页http://wwwmathnorthwesternedu/～clark/dynsys获得，学生对其加以修改可以用来解决一些其他计算问题(有关本书的订正及更新也可通过该网址查到) ．
　　有几本用Maple和Mathematica来讨论动力系统的书，其中两本是MKulenovic＇ ［58］和SLynch ［70］．JPolking和DArnold的书［85］ 中讨论了用Matlab求解微分方程，所用软件包可从http://wwwmathriceedu/～dfield获得．HNusse和JYorke的书［80］中有其专门的动力系统软件包．
致谢
　　我谨对其他几本书的作者深表谢意,我在讲授这一题材时曾用过他们的书，这些书影响了我对题材的理解，特别是在有效地介绍题材方式方面．我难以一一列出那些同样对我产生影响的更高级的书籍．关于微分方程部分我用过的参考书有：FBrauer和JNohel ［19］,MHirsch和SSmale ［51］,MBraun ［21］,IPercival和DRichards ［84］,DWJordan和PSmith ［55］,JHale和HKoak ［48］,SStrogatz ［104］．有关叠函数部分我用过的参考书包括：RDevaney的两本书 ［31］和［32］,DGulick［45］，KAlligood、TSauer和JYorke ［7］．
　　还要感谢我读研究生期间指导过我的三位教授：Charles Pugh、Morris Hirsch 和 Stephen Smale，他们把我引领到动力系统这门学科，并教给我许多思想和方法，使我终身受益．还有我在西北大学的许多同事以不同方式深深影响着我，他们之中有John Franks、Donald Saari和Robert Williams
　　下面的审阅人对本书初稿的改进提出了许多宝贵意见和建议，在此我也一并感谢．他们是：John Alongi （波莫纳学院），Pau Atela（史密斯学院），Peter Bates（伯明翰扬大学），Philip Bayly（华盛顿大学），Roman Grigoriev（佐治亚理工学院），Michael Brin（马里兰大学），Palle Jorgensen（艾奥瓦大学），Randall Pyke（雷尔森大学），Joel Robbin（威斯康星大学），Bjorn Sandstede（俄亥俄州立大学），Douglas Shafer（北卡罗来纳大学夏洛特分校），Milena Stanislavova（堪萨斯大学），Franz Tanner（密歇根理工大学），Howard Weiss（宾夕法尼亚州立大学）．
　　我还要感谢组稿编辑George Lobell对这个项目的鼓励，制作编辑Lynn Savino Wendel为改进表达的清晰性所提出的建议，Adam Lewenberg对准备付印的最后电子文档给予的帮助，Julio Ottino 为本书提供封面照片，Miguel Lerma 对解决LaTex 和图形的各种问题提供的帮助，以及Marian Gidea对使用Adobe Illustrator和Kamlesh Parwani对使用Maple电子表格所给予的帮助．
　　特别要感谢我的妻子Peggie,她始终如一的宽容、耐心、理解和祝愿，使得本书最终得以完成．

RClark Robinson
clark@mathnorthwesternedu

第一部分非线性微分方程组
第1章解微分方程的几何方法
第2章线性系统
21基本解集
22常系数线性方程组：解与相图
221复特征值
222重实特征值
223拟周期系统
23含时变强迫项的非齐次线性系统
24应用
241混合流
242恶性肿瘤模型
243糖尿病检测
244电路
25理论与证明
练习
第3章非线性方程的解——流
31非线性方程的解
32微分方程的数值解
33理论与证明
练习
第4章不动点与相图
41不动点的稳定性
42一维微分方程
43二维微分方程和零倾线
44不动点的线性化稳定性
45竞争种群
46应用
461恒化器模型
462传染病模型
47理论与证明
练习
第5章相图的函数分析方法
51捕食者食饵系统
52无阻尼强迫振荡
53阻尼系统的李雅普诺夫函数
54极限集
55梯度系统
56应用
561非线性振子
562神经网络
57理论与证明
练习
第6章周期轨
61定义与例题
62庞加莱本迪克松定理
63自激振子
64安德罗诺夫霍普夫分支
65周期轨的同宿分支
66流作用下面积或体积的变化
67周期轨的稳定性与庞加莱映射
68应用
681化学振荡
682非线性电路
683具有安德罗诺夫霍普夫分支的捕食者食饵系统
69理论与证明
练习
第7章混沌吸引子
71吸引子
72混沌
721敏感依赖性
722混沌吸引子
73洛伦兹系统
731洛伦兹方程的不动点
732洛伦兹方程的庞加莱映射
74Rssler吸引子
75强迫振荡
76李雅普诺夫指数
77混沌吸引子的检验
78应用
79理论与证明
练习
第二部分叠函数
第8章动力系统中的叠函数
81一维映射
82多变量函数
第9章一维映射的周期点
91周期点
92图示迭代法
93周期点的稳定性
931牛顿映射
932逻辑斯谛族映射的不动点和
2周期点
94周期汇和施瓦茨导数
95周期点的分支
96共轭
97应用
971资本积累
972单种群模型
973血细胞种群模型
98理论与证明
练习
第10章一维映射的迭路
101周期点的转换图方法
102拓扑传递性
103符号序列
104对初始值的敏感依赖性
105康托尔集
106子位移：分段扩张区间映射
107应用
1071牛顿映射：非收敛轨线
1072种群增长模型的复杂动力学
108理论与证明
练习
第11章一维映射的不变集
111极限集
112混沌吸引子
113李雅普诺夫指数
114测度
1141测度的一般性质
1142频率测度
1143扩张映射的不变测度
115应用
1151资本积累
1152混沌的血细胞种群
116理论与证明
练习
第12章高维映射的周期点
121线性映射的动力学
122周期点的稳定性和分类
123稳定流形
1231稳定流形的数值计算
1232吸引域边界
1233高维映射的稳定流形
124双曲环面自同构
125应用
1251马尔可夫链
1252Rn中的牛顿映射
1253甲虫种群模型
1254离散传染病模型
1255单陆棵基因模型
126理论与证明
练习
第13章高维映射的不变集
131几何马蹄
132符号动力学
1321正规矩形
1322马尔可夫分割
1323双曲环面自同构的马尔可夫分割
1324跟踪
133同宿点和马蹄
134吸引子
135高维映射的李雅普诺夫指数
1351缘于椭球轴的李雅普诺夫指数
1352李雅普诺夫指数的数值计算
136混沌吸引子的检验
137应用
138理论与证明
练习
第14章分形
141盒维数
142轨道的维数
1421相关维数
1422李雅普诺夫维数
143叠函数系
1431作用在集合上的叠函数系
1432叠函数系的随机作用
1433确定叠函数系
144理论与证明
练习
附录A微积分学基础知识和记号
附录B分析学和拓扑学的相关术语
附录C矩阵代数
附录D通有性质
参考文献
索引

动力系统是非线性科学的重要组成部分，研究自然现象随时间演变的极限行为．经过庞加莱（Poincare）、李雅普诺夫（Lyapunov）、伯克霍夫（Birkhoff）等人的奠基和发展，动力系统已成为现代数学的重要分支之一，由此也产生了很多很好的应用数学（比如混沌控制等）．
　　本书根据美国西北大学数学系教授RClark Robinson所著的《An Introduction to Dynamical Systems: Continuous and Discrete》一书翻译而成．翻译工作历时一年多，其中绝大部分内容是按照原文直译的，有个别之处是在原文的基础上根据译者的知识和理解来确定的．尽管本书是一本数学著作，但书中不仅涉及一些应用模型，而且还含有不少体现作者水平的带有评论性的描述，这些方面自然增加了翻译的难度，译者对这部分内容的理解和翻译可能不完全与作者一致．
　　本书分两部分介绍动力系统的概念，第一部分讨论非线性常微分方程组有关定性理论和分支的各个方面，第二部分讨论离散动力系统的基本理论．正像本书“前言”所述，本书假定学生已经学过单变量和多变量微积分、线性代数和微分方程导论的课程，可作为高年级本科生和低年级研究生非线性常微分方程或动力系统课程的教材．本书在内容处理上十分注重对概念与思路的解释以及定理与方法的运用，并有比较翔实的细节，因此本书非常适合作为理工科硕士研究生常微分方程定性理论与分支或动力系统课程的教材或主要参考书．
　　本书的第1、3、5、9、11章及第2章前两节由邢业朋翻译，第4、8、10、12章及第2章的后三节由毕平翻译，第6、7、13、14章及书末的附录由韩茂安翻译，在每位译者翻译并自我审查后，由韩茂安对全书进行了审查和修改．另外，在翻译和输稿过程中我们还得到了王政教授、博士研究生胡召平和臧红及硕士研究生杨俊敏和赵勇等人的帮助，在此向他们表示感谢．由于时间仓促和水平有限，翻译难免有不妥之处，敬请广大读者批评指正．

韩茂安
于2006年9月