本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，讲授的内容是高级工程数学、自然科学范畴的数学方法中非常重要的部分。另外，本书内容涉及了不少前沿问题，特别是第14章可以作为非线性波动的入门资料。

无

本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，适合作为涉及傅里叶级数、正交函数或边值问题的课程的教材，也可以在与格林函数、变换方法或部分高级工程数学和自然科学中的数学方法相关的课程中使用．当然，读者也可以把本书视为应用数学的入门书．
　　本书突出简单的热传导、振动弦和振动膜模型，从物理原理仔细推演方程，引出许多数学主题，并耐心讨论求解方法．对书中的数学结果通常给出物理解释，定理证明（如果给出的话）放在根据解释性实例所做的说明之后．本书包含1000多道难易程度不同的习题，书后还附有对带“*”号习题的解答．
　　本书对分离变量法、傅里叶级数、正交函数和傅里叶变换等标准内容进行了相当详细的讨论；深入介绍了偏微分方程的有限差分数值法；简要叙述了有限元方法；广泛介绍了线性与非线性波动方程的特征线法，包括对交通流量冲击波动态特征的讨论；详细介绍了非齐次问题，其中包括拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程的格林函数．此外，本书还包含大量其他主题，如傅里叶级数的微分与积分、施图姆刘维尔特征函数与多维特征函数、瑞利商、振动圆形膜的贝塞尔函数以及球面问题的勒让德多项式；包含某些更深的题材，如大特征值的渐近展开式、利用弗雷德霍姆择一性计算扰动频率、有限差分法的稳定性条件以及散射与逆散射．
　　简单讨论的应用包括：流体流过圆柱体的曳力与升力，光波与声波的斯涅耳折射律，从波动方程推导短时距方程，水波的色散关系，波导与光纤．
　　本书在作者对多所大学（麻省理工学院、加州大学圣迭戈分校、拉特格大学、俄亥俄州立大学和南卫理公会大学）的不同学生讲授这门课程的经验的基础上做了改进．读者需要具备微积分和初等常微分方程的知识，书中有时会在需要的地方对这些知识加以复习．对初学学生开设的课程，核心内容一般包含第1~5章与第7章中的大部分材料，不过通常还需要再补充少许其他题材．本书对教师而言有一定的灵活性，因为第6~13章的大部分内容仅依赖于第1~5章的材料．第11章关于热传导方程与波动方程的格林函数例外，它依赖第9章和第10章的材料．
　　第14章是更深入的内容，讨论线性与非线性色散波、稳定性和扰动法．这一章是自含的，对优秀本科生来说是比较容易理解的．该章分析线性色散波的群速度与包络方程，其应用包括光学系统中的彩虹焦散线；讨论非线性色散波，包括对弱非线性长波方程（KdV方程）和弱非线性波包络方程（非线性薛定谔方程）的孤立子的初步讨论；此外，讨论偏微分方程的不稳定性与分歧现象以及扰动法（多尺度问题与边界层问题）．第14章描述了当代物理学问题中偏微分方程的一些前沿研究成果．
　　我尽力保留了第3版的原貌，使过去的读者不会感到生疏．前一版的习题几乎原封不动地保留下来，以便原先读者的过渡．书中仅有少量的习题是新加的（特别是第1章）．第4版做了许多改进，新加的材料包括：化学污染物的扩散、频率的伽辽金数值逼近、热传导方程的相似解、波动方程的二维格林函数、冲击波速度及其分解的非唯一性、行进冲击波的空间结构、常微分方程组的稳定性与分歧理论、两个空间维的波包络方程、调制不稳定性的分析、长波不稳定性、反应扩散方程的模式形成以及图灵不稳定性等．
　　书中用200多幅图形解释各种概念，这些图形是作者用MATLAB制作的．大部分数学图形文件可以从我的Web网页http://facultysmuedu/rhaberma获得．现代技术中的图形能力是特别重要的，我在书中不遗余力地用三维可视化图形解释各种概念．
　　总的说来，我已清楚地说明偏微分方程的许多方面，引领读者进入这一广阔而重要的领域．当学生有了一定能力与理解力后，可以把本书作为参考读物，至于补充材料，读者应从其他书籍获取，例如“参考文献”中所列的某些书籍．
　　最后希望本书能使读者在研究数学同自然科学的关系中获得乐趣．
　　作者对审稿人Andrew Belmonte(宾夕法尼亚州立大学)、Julie Levandosky(斯坦福大学)和Isom Herron（Rensselaer 工艺学院）深表感谢．
　　我也要感谢本书以往、现在和未来的读者（学生与教师）．此外，在准备前一版的LaTeX中，Shari Webster曾给予我很大帮助，在此表示由衷的谢意．

Richard Haberman
rhaberma@mailsmuedu

第1章热传导方程
11引言
12一维杆中热传导方程的推导
13边界条件
14平衡温度分布
141给定温度
142绝热边界
15二维或三维热传导方程的推导
第2章分离变量法
21引言
22线性性质
23在有限端处具有零温度的热传导方程
231概述
232分离变量
233不定常方程
234边值问题
235乘积解和叠加原理
236正弦函数的正交性
237实例
238小结
24有关热传导方程的例子：其他边值问题
241绝热端杆中的热传导
242细圆环中的热传导
243边值问题小结
25拉普拉斯方程：求解和定性性质
251矩形区域内的拉普拉斯方程
252圆盘内的拉普拉斯方程
253绕过圆柱体的流体流动（升力）
254拉普拉斯方程的定性性质
第3章傅里叶级数
31引言
32收敛定理
33傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数
331傅里叶正弦级数
332傅里叶余弦级数
333用正弦级数和余弦级数表示f(x)
334偶部和奇部
335连续傅里叶级数
34傅里叶级数的逐项微分
35傅里叶级数的逐项积分
36傅里叶级数的复形式
第4章波动方程：振动弦与振动膜
41引言
42弦振动方程的建立
43边界条件
44端点固定的振动弦
45振动膜
46电磁波与声波的反射与折射
461斯涅耳折射定律
462反射波与折射波的强度（振幅）
463内部全反射
第5章施图姆刘维尔特征值问题
51引言
52例子
521非均匀杆内的热流
522圆对称热流
53施图姆刘维尔特征值问题
531一般分类
532正则施图姆刘维尔特征值问题
533定理的举例和说明
54例子：非均匀杆中的无热源热流
55自伴算子和施图姆刘维尔特征值问题
56瑞利商
57例子：非均匀弦的振动
58第三类边界条件
59大特征值（渐近行为）
510逼近性质
第6章偏微分方程的有限差分数值法
61引言
62有限差分与截断泰勒级数
63热传导方程
631概述
632偏差分方程
633计算
634傅里叶冯·诺伊曼稳定性分析
635偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解
636矩阵记号
637非齐次问题
638其他数值格式
639其他类型的边界条件
64二维热传导方程
65波动方程
66拉普拉斯方程
67有限元法
671非正交函数逼近
672最简三角形有限元
第7章高维偏微分方程
71引言
72时间变量的分离
721振动膜:任意形状
722热传导:任意区域
723小结
73振动矩形膜
74特征值问题Δ2+λ=0的定理叙述和说明
75格林公式、自伴算子和多维特征值问题
76瑞利商和拉普拉斯方程
761瑞利商
762依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程
77振动圆形膜和贝塞尔函数
771概述
772分离变量
773特征值问题(一维情形)
774贝塞尔微分方程
775奇异点和贝塞尔微分方程
776贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）
777涉及贝塞尔函数的特征值问题
778振动圆形膜的初值问题
779圆对称情形
78贝塞尔函数的进一步讨论
781贝塞尔函数的定性性质
782特征值的渐近公式
783贝塞尔函数的零点和结点曲线
784贝塞尔函数的级数表示
79圆柱体上的拉普拉斯方程
791概述
792分离变量
793侧面及顶部或底部为零温度的情形
794顶部和底部为零温度的情形
795修正贝塞尔函数
710球内的问题和勒让德多项式
7101概述
7102分离变量和一维特征值问题
7103连带勒让德函数和勒让德多项式
7104径向特征值问题
7105乘积解、振动模式和初值问题
7106球内部的拉普拉斯方程
第8章非齐次问题
81引言
82有源热流与非齐次边界条件
83带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）
84利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）
85受迫振动膜与共振
86泊松方程
第9章定常问题的格林函数
91引言
92一维热传导方程
93常微分方程边值问题的格林函数
931一维稳态热传导方程
932参数变易法
933格林函数的特征函数展开法
934狄拉克δ函数及其与格林函数的关系
935非齐次边界条件
936小结
94弗雷德霍姆择一性与广义格林函数
941概述
942弗雷德霍姆择一性
943广义格林函数
95泊松方程的格林函数
951概述
952多维狄拉克δ函数与格林函数
953用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性
954格林函数的直接解法(一维特征函数)
955用格林函数解带非齐次边界条件的问题
956无穷空间格林函数
957用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数
958用无穷空间格林函数求半无穷平面(y>0)的格林函数：像源法
959圆的格林函数：像源法
96扰动特征值问题
961概述
962数学例子
963拟圆膜振动
97小结
第10章无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法
101引言
102无穷域上的热传导方程
103傅里叶变换对
1031傅里叶级数恒等式的启示
1032傅里叶变换
1033高斯函数的傅里叶逆变换
104傅里叶变换与热传导方程
1041热传导方程
1042傅里叶变换热传导方程：导数的变换
1043卷积定理
1044傅里叶变换性质小结
105傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程
1051概述
1052半无穷区间上的热传导方程Ⅰ
1053傅里叶正弦和余弦变换
1054导数的变换
1055半无穷区间上的热传导方程Ⅱ
1056傅里叶正弦和余弦变换表
106应用变换求解的例子
1061无穷区间上的一维波动方程
1062半无穷带上的拉普拉斯方程
1063半平面上的拉普拉斯方程
1064四分之一平面上的拉普拉斯方程
1065平面上的热传导方程(二维傅里叶变换)
1066二重傅里叶变换表
107散射和逆散射
第11章波动方程和热传导方程的格林函数
111引言
112波动方程的格林函数
1121概述
1122格林公式
1123互反性
1124使用格林函数
1125波动方程的格林函数
1126格林函数的另一个微分方程
1127一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解
1128三维波动方程的无穷空间格林函数(惠更斯原理)
1129二维无穷空间格林函数
11210小结
113热传导方程的格林函数
1131概述
1132热传导方程的非自伴特性
1133格林公式
1134伴随格林函数
1135互反性
1136用格林函数表示解
1137格林函数的另一个微分方程
1138扩散方程的无穷空间格林函数
1139热传导方程的格林函数(在半无穷域上)
11310热传导方程的格林函数(在有限区域上)
第12章线性和拟线性波动方程的特征线法
121引言
122一阶波动方程的特征线
1221概述
1222一阶偏微分方程的特征线法
123一维波动方程的特征线法
1231通解
1232初值问题(无穷区域)
1233达朗贝尔解
124半无界弦和反射
125定长振动弦的特征线法
126拟线性偏微分方程的特征线法
1261特征线法
1262交通流量
1263特征线法(Q=0)
1264冲击波
1265拟线性举例
127一阶非线性偏微分方程
1271由波动方程推导出的短时距方程
1272求解均匀介质中的短时距方程和反射波
1273一阶非线性偏微分方程
第13章偏微分方程的拉普拉斯变换解法
131引言
132拉普拉斯变换的性质
1321概述
1322拉普拉斯变换的奇点
1323导数的变换
1324卷积定理
133常微分方程初值问题的格林函数
134波动方程的信号问题
135有限长度振动弦的信号问题
136波动方程及其格林函数
137用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换
138利用拉普拉斯变换求解波动方程(复变量)
第14章色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法
141引言
142色散波和群速度
1421行波和色散关系
1422群速度Ⅰ
143波导
1431对ωf频率集中周期性源的响应
1432模式传播的格林函数
1433模式不传播的格林函数
1434设计思路
144光纤
145群速度Ⅱ和稳定相位法
1451稳定相位法
1452对线性色散波的应用
146缓变色散波(群速度和焦散曲线)
1461色散偏微分方程的近似解
1462焦散曲线的形成
147波包络方程(集中波数)
1471薛定谔方程
1472线性化KdV方程
1473非线性色散波：KdV方程
1474孤立子与逆散射
1475非线性薛定谔方程
148稳定性和不稳定性
1481常微分方程和分歧理论简介
1482偏微分方程稳定平衡解的基本例子
1483偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成
1484不适定问题
1485微不稳定色散波和线性化复金茨堡朗道方程
1486非线性复金茨堡朗道方程
1487长波的不稳定性
1488反应扩散方程的模式形成和图灵不稳定性
149奇异扰动法：多尺度
1491常微分方程：弱非线性阻尼振子
1492常微分方程：缓变振子
1493固定空间域上的微不稳定偏微分方程
1494关于波动方程的缓变介质
1495缓变线性色散波(包括弱非线性作用)
1410奇异扰动法：匹配渐近展开的边界层法
14101常微分方程中的边界层
14102由对流支配的污染物扩散
参考文献
带*号习题的答案
索引

本书译自美国得克萨斯州南卫理公会大学（Southern Methodist University）数学系Richard Haberman教授所著的《Applied Partial Differential Equations》一书，是作者在美国多所大学长期讲授偏微分方程课程的基础上改进而成的．自1983年第1版出版以来，先后经过了三次修改，至今已经使用了20多年．本书无论从讲授方法上还是从讲授内容上，对于我国的数学物理方法和偏微方程课程都有很好的借鉴意义．
　　本书作者自1971年在麻省理工学院获得应用数学博士学位后，长期从事数学建模和非线性波动、非线性动力系统及奇异扰动法方面的研究，并且十分注意在教学中反映相关研究领域中的思想方法和成果，这也成为本书的基本特点．
　　本书对所涉及问题的数学模型建立和定解条件意义的描述都作了十分详尽的讲解，即便读者不完全具备相关的物理知识，在学习上也不会有多少困难．本书以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，做到了由浅入深和举重若轻，对于我国有关课程的设计和讲授有着实际的参考价值．本书的起点虽然不高，但观点现代，内容上也涉及了不少前沿问题，特别是第14章可以作为非线性波动的入门资料．另外，作者对数值解法的讲授能够帮助学生较好地理解微分方程和差分方程之间的密切联系．当然，限于作者的背景，本书的精彩部分主要在波动问题，虽然有些部分的解释有琐碎之嫌，但这些并不妨碍本书成为一本优秀的偏微分方程教材．
　　从我国数学物理方程课程的现状来说，本书可以作为理工科非数学专业高年级本科生或研究生相关课程的教材或教学参考书，还可以作为数学专业同类课程的参考书．
　　本书由北京师范大学数学系的郇中丹教授以及北京电子科技学院教师李援南、刘歆和宋燕红共同翻译而成．具体分工是：李援南、刘歆和宋燕红完成了书稿的基本翻译，郇中丹进行了全书的校勘和统稿工作．