本书阐述了如何在信号处理、数值分析和数学建模中使用小波作为分析工具。本书把信号展开为基和框架，利用滤波器组作为算法描述。这种统一的观点填补了现有小波文献中的不足。本书给出经典信号处理问题的最新观点，特别强调从应用角度出发的信号压缩，涉及当前研究的最新成果。
　　本书可作为高年级本科生和研究生的教材，适用于信号处理、无线电通信、计算机科学和应用数学等专业，也适于从事相关领域的研究人员和从业人员阅读。

本书特点
　　●以傅里叶方法为基础，逐步发展为更一般的方法。
　　●综合了数学和信号处理文献中与小波变换相关的内容。
　　●阐述了信号展开和滤波器组的方法。
　　●包含对基本小波系统的新的推广，包括M带小波、双正交系统、小波包和多小波。
　　●对具有N阶算法复杂度的近似快速傅里叶变换(FFT)算法给出小波的应用实例。
　　●包含其他小波文献的附加指南。
　　●附录中包含MATLAB程序。

无

本书讨论小波隐含的思想与小波的性质，并说明如何将小波作为信号处理、数值分析和数学模型的分析工具．书中采用工程师、科学工作者和应用数学研究人员都容易接受的一种阐述方式，既把小波分析作为一种理论途径，又把它作为一种有效的解决问题的实用方法．虽然这门学科的起源可以上溯到较早的年代，但重新引起人们的兴趣并且有所进展仅有不多年的光景．
　　小波方面早期的研究工作是由Morlet、Grossmann、Meyer、Mallat等人在20世纪80年代完成的，但是1988年Ingrid Daubechies［Dau88a］的论文才在信号处理、统计学和数值分析等多个应用数学领域引起更多人的注意．许多早期工作是在法国［CGT89,Mey92a］和美国［Dau88a,RBC*92,Dau92,RV91］开展的．与许多新兴学科一样，开创工作同特定的应用或传统的理论框架有着紧密的联系．本书中，我们将考察从应用中抽象和从研究中发展出来的理论，并且讨论这种理论同其他相关思想的关系．我们自己在信号处理方面的兴趣和背景无疑会影响本书的阐述方式．
　　小波研究的最新目标是创建一族基函数(或通常的展开函数)和变换，用以对某个函数或信号给出丰富的、有效的和有用的描述．如果将信号表示成时间的函数，小波则在时间和频率(或尺度)两方面提供有效的局部化．另外一个中心思想是多分辨，其中信号的分解借助于细节的分辨．
　　对于傅里叶级数，选择正弦函数作为基函数，然后考察得到的展开式的性质．对于小波分析，我们先提出欲求的性质，然后推导出基函数．小波的基函数所具备的一个重要性质就是能提供多分辨分析．出于多种原因，通常要求基函数是正交的．在这些目标之下，你将会见到若干相关的技术，包括傅里叶变换、短时傅里叶变换、离散傅里叶变换、维格纳分布、滤波器组、子带编码，以及由此产生的其他信号展开式和信号处理方法．
　　对于数学研究人员、科学工作者和工程师而言，基于小波的分析是一种令人兴奋的问题求解的新工具．它天生就能与数字计算机配合，因为其基函数是由求和而不是求积分或求导数定义的．与大多数传统的展开系统不同，小波分析的基函数不是微分方程的解．在一些领域，它是多年来第一个真正意义上的新工具．事实上，使用小波和小波变换时，需要采用一种新观点和新方法来解释我们仍然在学习如何利用的表达形式．
　　新近Donoho、Johnstone、Coifman等人的工作，为小波分析为何有如此广泛的应用和如此强大的功能增添了理论依据，而且对仍在进行的工作进行了推广．他们证明了小波系统具有一些固有的普遍优势，而且对于一类广泛的问题而言是接近最优的［Don93b］．他们还证明了自适应工具可以用于创建特殊信号和信号类的特定小波系统．
　　多分辨分解看起来是一种分离信号分量的方法，它比大多数其他分析、处理和压缩信号的方法更为优越．由于离散小波变换可以在不同的无关尺度下分解信号，而且非常灵活，所以Burke把小波称为“数学显微镜”［Bur94,Hub96］．正是因为这种强有力的和灵活的分解，在小波变换领域内，对信号的线性和非线性处理为信号的检测、滤波和压缩提供了各种新方法［Don93b，Don95,Don93a,Sai94b,WTWB97,Guo97］．同时，这还可以用来作为鲁棒数值算法的基础．
　　读者也会看到这与数字信号处理的滤波器组理论之间有一种有趣的联系和等价性［Vai92,AH92］．其实，用滤波器组得到的一些结果与用离散时间小波得到的结果是相同的，并且这在信号处理领域已由Vetterli、Vaidyanathan、Smith和Barnwell等人研究得到．滤波器组以及计算小波变换的大多数算法，是更为一般的多级系统和时变系统的组成部分．
　　对于那些具有一定技术背景但对小波知之甚少或者全然不知的人而言，本书可作为一本自学辅导教材或入门书．假定读者具备傅里叶级数和傅里叶变换、线性代数和矩阵论的知识，还假定读者达到工学、理学或应用数学学士的同等水平．掌握一些信号处理知识对阅读本书是有帮助的，但并非是必需的．我们借助于一维信号处理［RV91］——作为时间的实函数或复函数模型，来讨论这些思想，但这样的思想以及方法在二维、三维甚至四维的图像表示和图像处理中也证明是有效的［SA92,Mal89a］．向量空间已证明是研究小波理论与应用的天然工具．具有这个领域的一些背景知识是有益的，不过也可以在需要的时候补习．使用一些小波软件系统运行实例和进行实验对于小波的学习是大有裨益的．书后附有MATLAB程序，这些程序在我们的网站（前言后面提及）上也能找到．其他几种软件系统在第10章介绍．
　　介绍小波理论有几种不同的方式．我们选用由连续时间信号或函数表示为级数展开式出发，这同傅里叶分析中所用的傅里叶级数类似．由这种级数表示，我们可以转移到离散变量（例如，一个信号的抽样）的函数的展开和滤波器组理论，以便有效地计算与解释展开系数．这种情况类似于离散傅里叶变换（DFT）及其有效实现的快速傅里叶变换（FFT）．我们还可以由级数展开得到称为连续小波变换的一种积分变换，这类似于傅里叶变换或傅里叶积分．我们认为，从级数展开出发可以充分领悟小波理论，而且很容易看清小波分析与傅里叶分析之间的异同．
　　本书分为若干相对自成一体的章节．前面几章对离散小波变换（DWT）进行了非常全面的讨论，这种变换把信号展开为小波和尺度函数的级数．后面几章简述离散小波变换的推广和应用．各章均引用了许多其他著作，可以作为一种有注解的参考文献．因为本书旨在作为小波分析的导论，而在这个领域已经积累了大量的文献，所以我们在书后附上一个很长的文献目录．然而，这个目录很快就会变成不完全的，因为有大量不断发表的论文．无论如何，对于作为导论这一目标而言，提供一个文献指南是非常重要的．
　　近来美国科学院出版了一本书，书中由Barbara Burke撰写的一章［Bur94］对小波分析原理及其发展的历史作了很好的概述．Burke还写了此章的精彩扩充版本［Hub96］，这是任何对小波理论感兴趣的人应该阅读的．Daubechies在［Dau96］中对早期研究工作的历史给出了简要的介绍．
　　本书提出的很多结果和关系，是以定理和证明形式或以推导的形式阐述的．我们把重点放在定理陈述的正确性方面，而对定理的证明往往只给出推导的轮廓，其目的在于了解实质而非形式证明．事实上，为了不致使阐述凌乱，我们把很多推导放在附录中．希望这种方式有助于读者深入理解这个非常有趣但有时又有些模糊的新的数字信号处理工具．
　　我们在书中采用的记号兼有信号处理文献和数学文献所用的记号，希望这样做能使思想与结果更易于理解，但这会丧失一些一致性和清晰性．
　　作者感谢AFOSR、ARPA、NSF、Nortel公司、德州仪器公司和Aware公司所提供的支持．我们特别感谢H L Resnikoff，最初是他把我们领入小波领域，而他又准确地预见到我们的能力．我们还感谢W M Lawton、小R O Wells、R G Baraniuk、J E Odegard、I W Selesnick、M Lang、J Tian和莱斯大学计算数学实验室的各位成员，本书中介绍的很多思想与结果是他们提出的．第一署名作者感谢家人Maxfield和Oshman的无私支持．莱斯大学EE-531和EE-696班的学生们提供了极有价值的反馈，他们是:Bruce Francis、Strela Vasily、Hans Schüssler、Petter Steffen、Gary Sitton、Jim Lewis、Yves Angel、Curt Michel、J H Husoy、Kjersti Engan、Ken Castleman、Jeff Trinkle、Katherine Jones，与此有关的还有莱斯大学和其他地方的同事．
　　我们还要特别感谢Tom Robbins及其Prentice Hall的同事们的支持与帮助，他们的评审意见使本书的内容大为充实．
　　我们乐于知道任何读者发现的本书中的任何错误或使人误解的论述,真诚欢迎对本书提出任何改进意见．各种建议和评论可用电子邮件发至 csb@riceedu．涉及本书的软件、文章、勘误以及有关莱斯大学小波研究工作的其他信息，可以从网站http://wwwdspriceedu/和链接到正在展开小波研究的其他网站上找到．

　　C. Sidney Burrus，得克萨斯，Houston
　　Ramesh A. Gopinath，纽约，Yorktown Heights
　　Haitao Guo，加利福尼亚，Sunnyvale

译者序
前言
第1章小波导引
11小波和小波展开系统
111什么是小波展开或小波变换
112什么是小波系统
113小波系统更具体的特征
114哈尔尺度函数和小波
115小波看起来像什么
116小波分析为什么是有效的
12离散小波变换
13离散时间小波变换和连续小波
变换
14练习和实验
15本章小结
第2章小波系统的多分辨阐述
21信号空间
22尺度函数
23小波函数
24离散小波变换
25帕塞瓦尔定理
26离散小波变换和小波展开的显示
27小波展开的例子
28哈尔小波系统的例子
第3章滤波器组与离散小波变换
31分析——由细尺度到粗尺度
32综合——由粗尺度到细尺度
33输入系数
34点阵和提升
35不同的观点
351多分辨分析与时频分析
352周期离散小波变换与非周期
离散小波变换
353离散小波变换与离散时间
小波变换
354离散小波变换的数值复杂性
第4章基、正交基、双正交基、框架、
紧框架和无约束基
41基、正交基和双正交基
411矩阵的例子
412傅里叶级数的例子
413sinc展开的例子
42框架和紧框架
421矩阵的例子
422作为一个紧框架例子的sinc
展开
43有约束基和无约束基
第5章尺度函数与尺度系数、小波
与小波系数
51工具与定义
511信号分类
512傅里叶变换
513加细矩阵和转移矩阵
52必要条件
53频域必要条件
54充分条件
55小波
56另外的规范化
57尺度函数和小波的例子
571哈尔小波
572sinc小波
573样条与BattleLemarié小波
系统
58尺度函数与小波的进一步性质
581不要求正交性的一般性质
582依赖正交性的性质
59尺度系数的参数化
591长度为2的尺度系数向量
592长度为4的尺度系数向量
593长度为6的尺度系数向量
510计算基本的尺度函数和小波
5101逐次逼近或级联算法
5102迭代滤波器组
5103频域中的逐次逼近
5104尺度函数的二进展开
第6章正则性、矩和小波系统
设计
61K正则尺度滤波器
62小波消失矩
63小波零矩设计的Daubechies方法
64非最大正则性小波设计
65小波零矩与光滑性的关系
66尺度函数的消失矩
67用尺度函数投影逼近信号
68用信号的抽样逼近尺度系数
69Coiflet和相关的小波系统
610矩的极小化而不是零矩
第7章基本多分辨小波系统的
推广
71花砖时频或时间尺度平面
711非稳定信号分析
712具有离散时间的短时傅里叶
变换的花砖
713具有离散2带小波变换的
花砖
714一般化花砖
72重数M(M带)尺度函数和小波
721M带小波系统的性质
722M带尺度函数设计
723M带小波设计和余弦调制
方法
73小波包
731完全小波包分解
732自适应小波包系统
74双正交小波系统
7412带双正交滤波器组
742双正交小波
743正交小波和双正交小波的比较
744双正交系统族的例子
745双正交样条小波的
CohenDaubechiesFeauveau族
746具有较小不同滤波器长度的
双正交小波的Cohen
DaubechiesFeauveau族
747双正交Coiflet系统的
TianWells族
748双正交系统的提升构造
75多小波
7512带多小波的构造
752多小波的性质
753多小波变换的实现
754例子
755应用
76超完全表示、框架、冗余变换和
自适应基
761超完全表示
762矩阵的例子
763平移不变冗余小波变换和
非抽取的滤波器组
764框架和基的自适应构造
77局部三角函数基
771非光滑局部三角函数基
772光滑窗的构造
773折叠和伸展
774局部余弦基和局部正弦基
775信号自适应局部三角函
数基
78离散多分辨分析、离散时间小波
变换和连续小波变换
781离散多分辨分析和离散时间
小波变换
782连续小波变换
783傅里叶系统和小波系统之间
的相似性
第8章滤波器组和传输多路
复用器
81导引
811滤波器组
812传输多路复用器
813完全重构——进一步探讨
814完全重构的直接特征
815完全重构的矩阵特征
816完全重构的多相(变换域)
特征
82酉滤波器组
83酉滤波器组——一些具体的例子
84M带小波紧框架
85调制滤波器组
86调制小波紧框架
87线性相位滤波器组
871酉Hp(z)的表示特征——成对
平移对称
872酉Hp(z)的表示特征——成对
共轭平移对称
873酉Hp(z)的表示特征——线性
相位对称
874酉Hp(z)的表示特征——线性
相位和成对共轭平移对称
875酉Hp(z)的表示特征——线性
相位和成对平移对称
88线性相位小波紧框架
89线性相位调制滤波器组
810线性相位调制小波紧框架
811时变滤波器组树
8111生长一棵滤波器组树
8112修剪一棵滤波器组树
8113区间的小波基
8114L2(［0，∞))的小波基
8115L2((-∞，0］)的小波基
8116分段时变小波包基
812滤波器组和小波——总结
第9章离散小波变换的计算
91有限小波展开和有限小波变换
92周期离散小波变换
93离散小波变换计算的滤波器组
结构和复杂性
94周期情形
95周期离散小波变换的结构
96更一般的结构
第10章基于信号处理的小波及
应用
101基于小波的信号处理
102使用离散小波变换逼近快速傅里叶
变换
1021导引
1022离散傅里叶变换和快速
傅里叶变换回顾
1023离散小波变换回顾
1024算法的发展
1025快速逼近傅里叶变换
1026噪声缩减能力
1027总结
103具有离散小波变换的非线性滤波
或去噪
1031用阈值去噪
1032平移不变小波变换或非
抽取的小波变换
1033结合ShensaBeylkinMallat
à trous算法和小波去噪
1034性能分析
1035去噪的例子
104统计估计
105信号和图像压缩
1051数据压缩基础
1052原型变换编码器
1053基于小波的压缩算法的
改进
106小波为什么如此有用
107应用
1071偏微分方程数值解
1072地震和地球物理信号处理
1073医学和生物信号与图像
处理
1074通信中的应用
1075分形
108小波软件
第11章一些总结
111基本的多分辨尺度函数的性质
112小波系统的类型
附录A对第5章关于尺度函数的
推导
附录B对58节性质的推导
附录CMATLAB程序
参考文献
索引

小波分析是20世纪80年代中期基于Y Meyer、S Mallat及I Daubechies等人的奠基性工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是调和分析发展的划时代产物．小波分析在理论上的发展和完善与实际应用紧密地联系在一起．虽然小波分析已经经过了20多年的发展，但它的理论研究，尤其是与应用紧密结合的相关理论与算法的研究远没有完善，有许多基本的问题还没有解决．在小波的应用上，虽然并不缺少好的典范，但应用的普及以及对问题的深入解决，是随着小波分析理论与算法的进一步发展而发展起来的，而许多实际问题的解决过程，本身就推动了小波分析理论的发展．
　　与傅里叶变换的频域分析方法不同，小波分析是一种时频分析方法，它的时频窗在高频时自动变窄变高，在低频时又自动变宽变低，具有自动“聚焦”功能，所以又把小波称为“数学显微镜”．进而，小波分析的多分辨分析方法是一种分离信号分量的好方法，它比大多数其他分析、处理和压缩信号的方法更为优越．
　　　本书采用与傅里叶变换和傅里叶级数对比的方法引入连续小波变换和小波级数；阐述了尺度函数和小波构造的多种方法；讨论了小波变换计算与数字信号处理的滤波器组理论之间的联系和等价性；对于小波的推广的多种形式，例如，M带小波系统、小波包、双正交小波系统、提升算法、多小波、平移不变冗余小波变换、离散多分辨分析和离散时间小波变换等，进行了比较简单但有效的叙述．在应用方面，本书简述了基于小波的信号处理；使用离散小波变换逼近快速傅里叶变换；离散小波变换的非线性滤波或去噪；小波统计估计；小波信号和图像压缩；小波在偏微分方程数值解、地震和地球物理信号处理、医学和生物信号、图像处理、通信、分形等方面的应用．本书注重叙述的连贯性，不拘泥于理论的证明，而且对于需要进一步了解相关内容的读者，提供了相应的参考文献．
　　本书采用工程师、科学工作者和应用数学研究人员都容易接受的一种方式来阐述小波分析，作者既把小波分析作为一种理论途径，又把它作为一种有效的解决问题的实用方法．本书适用于有一定技术背景、想了解和学习小波分析的理工科研究生和科学技术人员，尤其适合具备一些数字信号处理知识的读者阅读．对于应用数学、计算数学领域从事小波分析的研究者和使用者来说，了解和使用本书中叙述的方法对于小波分析的具体应用也是很有帮助的．
由于译者水平所限，书中不妥与误译之处在所难免，希望广大读者和同行批评指正．

　　程正兴
　　于西安交通大学理学院
　　2007年7月