本书系统地介绍了抽象代数的基础内容，包括群、环、域、模等，每一部分独立成章，本科生、研究生等不同层次的读者可以挑选阅读。全书范例丰富，风趣易懂；另外，每一小节后都配有一定数量、难易不等的习题，书后还附有解答与提示，便于教学和自学。
　　与第2版相比，第3版的更新如下：
　　●阐述更清晰，表达更顺畅。
　　●在前5章中，最重要的小节、定义、定理以及例题旁边均有箭头作为指示。
　　●包含了任意域上的线性代数的更多知识。
　　●增加了介绍分类平面上的楣（frieze）群的小节。
　　●增加了100多道习题。
　　本书可供高等院校数学系师生及相关工程技术人员使用。

无

本书介绍了数论、群和交换环的知识．群论是伽罗瓦在19世纪早期发明的，那时他完全用群论确定了其根可用广义的二次求根公式来求解的多项式．当今，群论是讨论几何及其他学科中各种对称性的精确的工具．本书除了介绍伽罗瓦的思想外，还分类了称为楣(frieze)的平面设计，以及用群论来求解一些复杂的计数问题，例如，若每个珠子是红色的、白色的或者蓝色的，则穿有6颗珠子的手镯共有多少种？在交换环这个合适的上下文中，可以研究数论，也可以研究多项式理论中的许多方面的内容．整数的最大公因数和模算术等思想可以毫不费力地推广到单变量的多项式环中．书中给出了公共存取码、日历、拉丁方、幻方及实验设计等应用．接着讨论纯量在任意域(不仅仅是实数域)中的向量空间，此研究使得我们能够解决涉及尺规作图的经典的希腊问题：三等分一个角、2倍一个立方体、化圆为方以及构造正n边形．有限域上的线性代数被应用于编码理论中，说明人们是如何对噪声信道上发送的信息(如从其他星球传到地球的图片)进行译码的．书中证明了求三次和四次多项式的根的经典公式，此后利用群和交换环的知识证明了伽罗瓦定理(其根可由这样的公式给出的多项式有可解的伽罗瓦群)及其推论和阿贝尔定理(存在五次多项式，其根不能由这些公式的推广形式给出)．这些仅仅是伽罗瓦理论的一个简介，希望对这门优雅的学科有更多了解的读者必须学习进一步的课程．代数是迷人的，希望我对它的热情能够传给读者．
　　为适应具有不同基础的读者，此书包含了超过适用于一个或两个学期的内容．前四章包含了通常适用于第一学年的所有内容，但是许多部分不必讲授，其原因在于或者它们是已知的(数学归纳法、二项式定理、复数、线性代数)，或者它们不是很重要，或者它们会包含在进一步的课程中．然而，教师依然可从这些可选部分及后面的章节中为那些对此感兴趣的学生指定一些内容．感兴趣的读者可读到本书的最后，本书的后几章进一步研究了群和环．在第6章中，证明了有限交换群是循环群的直积，给出了有限群的最大p子群的存在性(和意义)，讨论了楣(frieze)的对称群的分类．最后一章是多元多项式的一个简介，包括希尔伯特基定理、簇、C［x1，…，xn］上的希尔伯特零点定理以及与格罗布纳基相关的算术方法．因此，最后两章展示了早期思想发展后的某些方向，它们可作为当前课程之外的代数方面的参考．
　　本版的一些新特征如下：
 重新写了内容，使得表达更通顺．
 在前五章中，最重要的节、 小节、定义、定理及例子旁加有箭头指示．
 第2章和第3章分别介绍了群和交换环，它们本质上是彼此独立的，因此，只要少许改变，就可以先学群或者先学交换环．
　　包含了任意域上的线性代数的更多知识．这样就增加了关于码的新节，其内容深至理德索罗门(ReedSolomon)码的译码．
 增加了一节介绍分类平面上的楣(frieze)群．
　习题：
(i)前一版中有414道习题，而此版共有574道习题．
(ii)每一组习题都从一道判断题开始，用以复习此节中重要的知识点．
(iii)在课文中直接引用的每一道习题都标注有*号．
(iv)那些标注有H的习题，在本书后均有提示，读者在看提示之前应自己先考虑该问题．
 将所有的引理、定理、命题、推论和例子都进行了统一的编号，这样参考时会更容易一些．
 包含特殊符号的介绍，其中给出了引入符号的页码．
当今，抽象代数被看成是一门具有挑战性的课程，许多聪明的学生在学习它时也似乎有相当的困难．当然，学生必须学会用一种新的方式思考．公理方式的推理在某种程度上是新的，而其他的方式也可能更为形象．一些学生从未写过证明，另一些学生也许曾经写过，但由于缺乏使用可能已经不熟练了．但这些障碍中没有一条能充分地解释已遇到的困难．毕竟，同样的障碍在开始学实分析课程时就存在了，但大部分学生经过早期的努力，在这些课程的学习中的确掌握了相应的内容．然而，在标准的代数课程的学习过程中困难是一直存在的，无论是先教群还是先教环，或者是调整一些内容．我认为导致学习抽象代数困难的一个主要因素是群和环都是在第一门课程中引入的．当学生刚刚开始对一个主题有所了解后，就马上转而学另一个了．而且，在给出有意义的应用之前学习群论或交换环论给了学生一个错误的印象，即这些理论或者没有实际价值，或者（极有可能是这种情况）直到将来某时刻才有用．设想一下，基础的实分析和复分析课程都在第一个学期引入，怎么会有充足的时间来证明中值定理和刘维尔定理呢？如果代数作为一学年(两个学期)的课程来教，那就不必将两个专题都挤在入门课程中，这样，将呈现出一门更真实、更有吸引力、更生动的代数课程．如今，这种选择较过去更加实际可行了，因为抽象代数的许多应用使得对它感兴趣的学生越来越多，而他们之中很多都是非数学专业的．因此我将此书重写，以满足两类读者的需要．一方面，此新版本可作为那些喜欢当今流行的将群和环都在第一个学期中讲授的学生的教材，书中有足够多的材料，可作为后续课程的教材; 另一方面，此书也可以作为一学年课程的教材．本书内容有多种可能的组合：建议在第一学期先讲授数论和交换环，线性代数和群论放在第二学期讲授．这些课程的详细教学大纲会在后面给出．
很少有数学教材会给出数学术语的语源．因此这里要说明并分析一下，为什么本书要给出很多术语的语源．对于标准的扑克游戏而言，现在已有很多变种．在玩扑克游戏时，发牌人通过给它命名来宣布他所选择的游戏．现在看来，一些游戏的名字明显优于其他游戏的名字．譬如，“最小的红色”是这样一个游戏，在这个游戏中，每个玩家手中的最小的红色的牌是“主将”，这是一个好名字，因为这个名字提醒玩家这个游戏自身的特色．另一方面，“加重”就不是一个很好的名字，尽管这个名字也有提示性，但它不能把这个特殊的游戏与其他几个游戏区别开来．在数学中，大部分的术语都是精心选择的，这意味着“最小的红色”这样的术语比“加重”这样的术语要多得多．下面就是一个好名字的例子:偶置换．一个置换是偶的，若它是偶数个对换的乘积．另一个好名字的例子是描述向量加法时的“平行四边形定律”．但是，很多好的名字，在选择时它的意义是清楚的，而后来变得比较晦涩了，因为这些名字的根源不是在其他的语言中就是在其他学科中．三角几何的术语tangent(正切函数)和secant(正割函数)对那些懂拉丁语的人来说是合适的名称，但对不懂拉丁语的人而言是晦涩的(请看第32页关于它们起源的一个讨论)．“数学”（mathematics）这个术语现在就比较晦涩，因为我们大部分人都不知道它其实是来自古希腊文中的词，意思是“去学会”（to learn）．“推论”(corollary)这个术语则更晦涩了，这个词来自拉丁文，意思是“花”，但是为什么将其称为花呢?一个似是而非的解释是这样的: 在古罗马，送花作为礼物是很常见的，而推论就是定理赠予的礼物．“定理”(theorem)这个术语来自希腊语，意思是“去看”或者“去凝视”(剧院(theatre)有同样的词根)，是欧几里得最先这样使用的．“引理”（lemma）这个术语也是从希腊语中来的，意思是“拿到”或“收到”，这个词是一个声明，它被准许用在一个定理的证明过程中(因为它已经被证明过了)．我认为数学术语的语源是值得去探究的(并且非常有趣)，因为它经常帮助我们理解数学术语，从而使数学术语不再那么晦涩了．

这是指原英文书页码，与书中页边标注的页码一致．——编辑注除了再次感谢那些在前两版中帮助过我的人外，我还要特别感谢George Bergman，他给了我许多建议，并且慷慨地允许我使用许多有意义的习题．感谢Chris Heil，他指出了我未发现的一些细小的错误．感谢Iwan Duursma，他在码这个新的小节中帮助过我．最后，我要感谢 William Chin、Joel S. Foisy、Robert Friedman、Blair F. Goodlin、Zahid Hasan、Ilya Kapovich、Dieter Koller、Fatma Irem Koprulu、Mario Livio、Thomas G. Lucas、Leon McCulloh、Arnold W. Miller、Charles H. Morgan、Jr.， Chuang Peng、Eric Schmutz、Brent B. Solie、Paul Weichsel和John Wetzel．
George Lobell是直到此版书完成后才离开Prentice Hall的，他一直在本书的内容和风格上给我明智的建议，这个新的版本若没有他的帮助是不会有本质上的进步的，我衷心地感谢他的指导．

Joseph J.Rotman
rotman@mathuiucedu

目录
译者序
译者简介
前言
教学大纲建议
致读者
特殊符号

第1章数论
11数学归纳法
12二项式定理与复数
13最大公因子
14算术基本定理
15同余
16日期与天数
第2章群Ⅰ
21一些集合理论
211函数
212等价关系
22置换
23群
24子群和拉格朗日定理
25同态
26商群
27群作用
28用群计算
第3章交换环Ⅰ
31基本性质
32域
33多项式
34同态
35从数到多项式
36唯一分解
37不可约性
38商环与有限域
39一个数学历程
391拉丁方
392幻方
393试验设计
394射影平面
第4章线性代数
41向量空间
42欧氏作图
43线性变换
44特征值
45码
451分组码
452线性码
453译码
第5章域
51经典公式
52一般五次方程的不可解性
521求根公式与根式可解性
522二次多项式
523三次多项式
524四次多项式
525用群论语言的叙述
53结束语
第6章群Ⅱ
61有限阿贝尔群
62西罗定理
63装饰的对称
第7章交换环Ⅱ
71素理想和极大理想
72唯一分解
73诺特环
74簇
75广义的除法算式
751单项式序
752除法算式
76格罗布纳基
附录A不等式
附录B伪码
部分习题提示
参考文献
索引

Joseph JRotman是美国伊利诺伊大学厄巴纳尚佩恩分校数学系教授．他在环与代数的研究中颇有建树，在相关杂志上发表论文30多篇，但他最擅长的还是写书．他著有多部数学方面的专著，其中包括《Advanced Modern Algebra》、《Galois Theory》及这本《A First Course in Abstract Algebra》等.

　　 该书中文版（《高等近世代数》）由机械工业出版社出版．——编辑注本书第1版出版于1996年，这里翻译的是最新的第3版.此书被美国许多高校选为本科生及研究生的代数学教科书或教学参考书．该书全面论述了代数学的基础知识，如群论、环论、域论、主理想整环以及多元多项式理论等．另外，本书对于教授和学习方法做了精心的安排，并提出了多种建议．关于此书的特点，作者在前言中已做了详细的阐述，我们在此着重指出以下几点(这也是国内众多代数学教材所缺乏的): 1本书较为详细地介绍了许多数学术语的语源，这使得枯燥的数学名词变得十分有趣; 2本书注意介绍了在代数学中结合应用现代计算机理论的知识; 3许多概念都有作者本人独特的见解，便于读者掌握这些概念的实质，例如，第4章对向量空间的“基”定义，作者就强调了它首先是一组有序的向量，国内相应的教材处理得就没这么细致.
　　 新中国成立以来，国内已出版了许多近世代数学方面的译作，但是影响最大的当属以下两本: 一是曹锡华、曾肯成和郝炳新等翻译的BLWaerden的《Algebra》; 另一本是冯克勤翻译的TWHungerford的《Algebra》．这两本书对我国代数学的普及和发展均起了推动作用，使得我国从事代数学研究和教学的人(包括译者本人)受益匪浅．但这两本书都略显陈旧，前者出版于20世纪50年代，后者出版于20世纪70年代．近年来，代数学研究得到迅猛发展，出现了许多新的分支，且重心也发生了改变，以前重要的内容现在已变得不那么重要了．不仅如此，在数学的许多其他分支中，代数学也逐渐成为不可缺少的基本工具．更为重要的是，由于计算机技术的发展和普及，以及由此而引发的离散数学的兴起，使得代数学在通信、系统工程和计算机科学等许多领域中得到了非常广泛的应用，代数学已成为一些先进国家在这些领域中从事开发的研究人员的基本工具．我国代数学的研究、教学和普及工作也需要适应这种发展形势的要求．在我国高等院校中，代数课程的教学课时数远低于分析学课程，而且教学内容也需要补充和更新．我们在机械工业出版社的邀请下将Joseph JRotman 的《A First Course in Abstract Algebra》一书翻译成中文，就是希望对当前我国的代数学教学、普及和研究工作能起到积极的作用，希望国内的读者能接触以及了解国外大学的先进教材．
　　 本书分为七章，前三章及习题提示部分由冯明军执笔翻译，其余部分的翻译工作及全书的统稿工作由李样明完成．在翻译过程中，得到了机械工业出版社华章分社编辑的许多帮助及理解，钟运强、叶剑雄等多位学生为我们输入了大量的汉字，在此对他们一并表示感谢．
　　 译者在翻译过程中发现了原书的某些错误(主要是印刷方面的)，这些错误均经原作者认可并在中译本中做了改正，在此不一一列出了．
　　 由于本书篇幅较大且译者学识浅陋，译稿中难免出现错误和疏漏，欢迎大家指正．

　　 译者
　　 2007年5月于广州