数学分析已经根植于自然科学和社会科学的各个学科分支之中。微积分作为数学分析的基础，不仅要为全部数学方法和算法工具提供方法论，同时还要为人们灌输逻辑思维的方法。本书在实现这一目标中取得了引人注目的成果，读者从中不仅可以获得微积分的知识，还会受到数学科学思维的训练。
　　本书一方面按传统的和严格的演绎形式介绍微积分的所有主题，另一方面强调主题的相关性和统一性，从整体的、系统的高度来组织材料。书中以最清晰、最简洁的方式介绍了数学分析的基本概念，除了包含必不可少的论题（如实数、收敛序列、连续函数与极限、初等函数、积分、多元函数等）以外，还包含其他一些重要的论题（如求积分的逼近方法、魏尔斯特拉斯逼近定理、度量空间等）。另外，全书贯穿了许多具有启发性的例题以及激发求知欲的练习题。
　　与第1版相比，本版增加了200多道难易不等的习题，为易于读者理解进行了大量小改动，从而更清晰地阐述了基本概念。另外，为教学提纲考虑进行了许多实质性的改动，将选学材料单独放置，这样使得基本材料的叙述更简洁，过渡更自然流畅。
　　本书可作为数学、工程技术、自然科学、计算机科学和其他相关专业学生数学分析课程的教材或教学参考书。

无

本书旨在以最清晰、最简洁的方式精确地陈述数学分析的基本概念，全书配有启发性的例题及有激励性的习题．我希望学生准确地掌握学科内容，了解它的连贯和含义．本书适合作为一学年课程，前九章关于一元函数的内容适合作为一学期课程．
　　我不想过分强调习题的重要性．为真正理解书本内容，学生有必要做许多习题．习题设计成有挑战性的,以激励学生去仔细重读相关材料．有许多问题预示着未来的发展方向．学生在阅读本书时，应备有笔和纸，对内容全神贯注．最好的方法是在读证明之前试着自己去证明结论．
　　数学分析对许多科学分支的发展有着巨大的影响．诚然，作为学科的一部分的计算算法在应用上的重要性，常常引发在课程中强调通晓这些算法的实现，其结果必以牺牲学科的基本思想为代价．尽管这些技巧是非常重要的，但若对这些算法的中心概念没有真正的理解，则运用算法的能力就会很有限．我已试图强调学科内容的统一性．数学分析不是孤立事实与技巧的汇集，相反，它是知识的连贯体．除了实际主题的固有重要性之外，数学分析的研究在于灌输一种思维的习惯，这对于真正理解纯粹数学和应用数学的许多领域是至关重要的．
　　除了绝对必不可少的论题外，一些其他重要的论题以这样一种方式安排，即它们的选用不致扰乱课程的连贯性．那些不含有后面引用的题材的章或节都以星号“*”标明．
　　在这门课程的开始，就有必要证实实数的性质，它们是后续证明的基础．这已成为我的经验，为了在规定时间内涉及内容翔实的分析，就不可能提供从集合论的严格讨论开始的实数构造的细节．我选择把实数性质编辑成三组公理．在“预备知识”里，算术性质及序性质编辑成域公理及正性公理．在附录A中详细讨论这些公理的推论，它们自然是学生们所熟悉的．这些公理中最不为人们所熟悉的是完备性公理，在1.1节中给出．
　　前四章的材料是最基本的．在第2章，收敛序列的性质得以证实，并给出收敛序列的单调性、线性性及和与积的性质的证明．完备公理的三条重要推论（单调有界序列的收敛性、区间套定理与列紧性定理）也得到证明．第2章为后面的连续性、极限和积分法的学习奠定基础，这些题材是通过收敛序列的概念处理的．第3章研究了连续函数与极限．第4章讨论了微分法．
　　第5章是可选读的．学生在此将熟悉对数函数、三角函数及其反函数的性质，虽然很可能他们看到的不是这些函数的严密的分析．在第5章，自然对数函数、正弦函数和余弦函数是作为特定微分方程的唯一解，而且是在这些微分方程有解这一暂时假定下被引进来的，并且给出对这些函数以及它们的反函数的解析性质的解析推导．尔后，在确定了由积分或幂级数所定义的可微性性质后，证明了这些微分方程确实有解，因而原先的暂时假定是可以去掉的．我们把第5章视为展示的良机，在其中可以把前四章的基本理论用于微分方程解的性质的研究．由于不需讲授本章的全部题材，并且学生们无疑已经熟悉初等函数的基本性质，因此跳过这一章是正常的．
　　第6章是关于积分的基本材料．黎曼积分的基本性质是在探索收敛的实数序列的性质通过被称为阿基米德黎曼定理的可积性准则而展现出来的．第7章包含积分的深一层的论题，是可选读的，后继内容与第7章无关．
　　函数用泰勒多项式来逼近的研究是第8章的主题．在第9章，我们考察收敛于极限函数的函数序列，并且讨论极限函数继承函数序列中函数项的性质的方式，强调逐点收敛与一致收敛的区别．可以根据学时数以及课程的中心，对第8、9章的内容作适当的取舍．在这两章中仅有一个论题是以后所需要的，即多元函数的二阶泰勒逼近定理．我经常取第8章的前三节，以及一个或两个分析中的瑰宝，如魏尔斯特拉斯逼近定理、无穷次可微但不解析的函数的例子或者无处可微的连续函数的例子．
多元函数的研究起始于第10章．在第10章，引进了内积与范数．Rn中没有哪一类子集对多元函数所起的作用能像区间对于一元函数所起的作用那样显著．正因如此，引进Rn中一般的开子集与闭子集的概念，并且考察它们的基本性质，在第11章，我们研究如何把数列与一元函数序列的有关结果推广到Rn中的点序列，以及推广到定义在欧几里得空间的子集的函数序列和这类空间之间的映射上．以Rn中的集合作为定义域的函数的特殊性质为背景，考察Rn的集合的列紧性、顺向连通性和连通性的概念．第10、11章是第1、2和3章中关于一元函数的内容对多元函数的延伸．
　　第12章度量空间是可选读的．学生将会看到一般理论的一些重要的具体实现，这就是函数序列的一致收敛概念，以及欧几里得空间子集的研究．脑子里有这些例子就能更好地品味一般理论．另外，还证明了压缩映射原理并用它来建立一元函数的非线性标量微分方程的可解性的解的存在性结果．这可以看作是简洁的一般理论为特定问题提供具体信息的有力例证．后面的任何内容都与第12章无关．
　　多元函数微分法的材料包含在第13、14章中，这两章的中心是具有连续偏导数的多元函数在所有方向都有方向导数，中值定理成立，因此这类函数有良好的局部逼近性质．
　　第15章研究具有连续可微分量函数的欧几里得空间之间的映射．在连续可微函数的定义域中的每一点定义了导数矩阵以及被称为微分的对应的线性映射，该章还研究用线性映射的逼近，并以映射的链式法则结束．在此处和书中其他地方，需要读者懂得一些线性代数知识．整个151节专门讨论从Rn到Rm的线性映射和m×n矩阵之间的对应，作为为学生提供可能需要了解的知识的一种解决办法．至于涉及线性代数的其他论题，在附录B中描述线性代数的基本论题，其中对R3的线性映射与向量对应的案例，运用两个向量的向量积提供完整的证明，特别是建立了行列式与体积之间的关系．
　　反函数定理与隐函数定理分别是第16、17章的主题．我尽力清晰地描述这两个定理及相关材料，诸如研究非线性方程组的极小化原理，这不是作为一些孤立的技术成果提出的，而是作为了解映射从它的线性化中可能要求继承什么性质的主题的一部分．这两个定理确实是如下方式的最清晰表达，即非线性的对象（映射或方程组）从线性逼近中继承性质的方式．在课时数非常有限的课程中，如果决定把多元函数的积分法的重要部分包括在内，那么可以推迟讲授第16、17章中的材料（平面内的反函数定理除外），而从第15章直接进入到第18章．
　　多元函数积分理论占据本书的最后三章．在第18章，首先对广义矩形上的有界函数定义积分．一元函数的大多数结果无须改变证明就可以转到多元函数．阿基米德黎曼定理作为可积性的基本准则得到证明．我们还证明，若定义在广义矩形上的有界函数的不连续点集的若尔当容度为0，则它也是可积的．随后，对于Rn的有界子集上定义的有界函数，通过这种函数在包含原定义域的广义矩形上的扩张，考察它们的积分．对于多元函数的积分证实存在一元函数的积分的那些熟知的性质，如定义域上的线性性、单调性和可加性，等等．第19章证明了累次积分的富比尼定理，并证明了多元函数积分的变量替换定理在第20章，本书以曲线与曲面积分的研究结束．我们的目标是以清晰的方式描述和证明一元函数的微积分第一基本定理能够从直线提升到平面（格林公式），然后格林公式可以从平面提升到三维空间（斯托克斯公式）．我抵制住诱惑，没有提出流形积分法的一般理论，为使得分析思想清晰，宁可不提最一般的结果．因为把重点放在路径和曲面的参数表示的周密处理上，所以没有提及与曲面的“拼缀”相关的基本技术问题．
　　第1版致谢
　　本书的初稿被我的许多同事在课堂上使用，在他们及其他人的建议下改进形成了本书的终稿 为此，衷心地感谢James Alexander、Stuart Antman、John Benedetto、Ken Berg、Michael Boyle、Joel Cohen、Jeffrey Cooper、Craig Evans、Seymour Goldberg、Paul Green、Denny Gulick、David Hamilton、Chris Jones、Adam Kleppner、John Millson、Umberto Nero、Jacobo Pejsachowicz、Dan Rudolph、Jerome Sather、James Schafer和Daniel Sweet教授 我还要感谢以下评审者：Bruce Barnes（俄勒冈大学）、John Van Eps（加州工艺州立大学圣路易斯-奥比斯波分校）、Christopher E Hee（东密歇根大学）、Gordon Melrose（老道明大学）、Claudio Morales（亚拉巴马大学）、Harold R Parks（俄勒冈州立大学）、Steven Michael Seubert（博林格林州立大学）、William Yslas Velez（亚利桑那大学）、 Clifford E Weil（密歇根州立大学）和W Thurmon Whitney（纽海文大学） 真诚地感谢Jaya Nagendra小姐对手稿的录入 还要感谢PWS出版公司的编辑和出版人员，正是由于他们周到和专业的帮助才使本书顺利出版我特别要感谢我的老师及我的学生 我很荣幸地成为拉特格大学John Bender教授的学生，他教授我数学分析 此外，他的鼓励还促使我终生致力于数学的研究，对他的感激之情无以言表 我还要特别感谢对此书做出贡献的一位学生——Alan Preis，他在手稿的最后准备阶段给了我很大的帮助，他的协助及模拟讨论使得枯燥的工作变成了一件有趣的事
第2版致谢
　　我仍要感谢上面所感谢的人 此外，还要感谢阅读本书第1版后对本书提出建议的人 特别感谢David Calvis教授，他认真地审阅了本书的第1版和第2版的初稿
　　对于第2版的出版，要特别感谢我的朋友及同事James A Yorke 在2003~2004年度，他用本书教授了一学年的课程 这是他第一次上这门课，他为这门课投入了很大的精力，并批判地思考材料组织的各个方面 我们每周都要讨论几个小时，他对本书提出了许多改进意见，小到局部的阐述（使得学生更容易理解），大至材料的组织 是他的鼓励使我最终完成了第2版的修订工作
　　感谢我的同事Bob Pirtle、Katherine Cook、Cheryll Linthicum和Merrill Peterson，他们在我准备第2版的过程中给予了我很大的帮助和理解

Patrick MFitzpatrick

译者序
前言
预备知识
集合与函数
实数的域公理
实数的正性公理
第1章分析的工具
11完备性公理和它的某些推论
12整数与有理数的分布
13不等式与恒等式
第2章收敛序列
21序列的收敛
22序列与集合
23单调收敛定理
24列紧定理
*25集合的覆盖性质
第3章连续函数
31连续性
32极值定理
33介值定理
34一致连续性
35连续性的εδ准则
36象与逆象；单调函数
37极限
第4章微分法
41导数代数
42求反函数与复合函数的微分
43中值定理及其几何推论
44柯西中值定理及其解析推论
45莱布尼茨记号
*第5章作为微分方程解的初等函数
51微分方程的解
52自然对数函数与指数函数
53三角函数
54反三角函数
第6章积分法：两个基本定理
61达布和；上积分与下积分
62阿基米德[CD2mm〗黎曼定理
63可加性、单调性及线性性
64连续性与可积性
65第一基本定理：对导数求积分
66第二基本定理：对积分求导数
*第7章积分法：更深入的主题
71微分方程的解
72分部积分法与换元法
73达布和与黎曼和的收敛性
74积分的近似法
第8章泰勒多项式逼近
81泰勒多项式
82拉格朗日余项定理
83泰勒多项式的收敛性
84对数函数的幂级数
85柯西积分余项定理
86一个无穷次可微的非解析函数
87魏尔斯特拉斯逼近定理
第9章函数序列与级数
91序列与数级数
92函数序列的逐点收敛
93函数序列的一致收敛
94函数序列的一致极限
95幂级数
96一个无处可微的连续函数
第10章欧几里得空间Rn
101Rn的线性结构与内积
102Rn中序列的收敛性
103Rn中的开集与闭集
第11章连续性、紧性及连通性
111连续函数和连续映射
112列紧性、极值和一致连续性
*113顺向连通性与介值定理
*114连通性与介值性质
*第12章度量空间
121开集、闭集及序列的收敛性
122完备性与压缩映射原理
123非线性微分方程的存在性定理
124度量空间之间的连续映射
125列紧性与连通性
第13章多元函数的微分
131极限
132偏导数
133中值定理与方向导数
第14章实值函数的局部逼近
141一阶逼近、切平面和仿射函数
*142二次函数、黑塞矩阵和二阶导数
*143二阶逼近和二阶导数检验
第15章用线性映射逼近非线性映射
151线性映射和矩阵
152导数矩阵和微分
153链式法则
第16章象和逆象：反函数定理
161一元函数与平面上的映射
162非线性映射的稳定性
163极小化原理与一般反函数定理
第17章隐函数定理及其应用
171两个未知元的标量方程的解：迪尼
定理
172一般隐函数定理
173R3中的曲面方程和路径
174约束极值问题和拉格朗日乘子
第18章多元函数的积分
181广义矩形上函数的积分
182连续性与可积性
183若尔当域上函数的积分
第19章累次积分与变量替换
191富比尼定理
192变量替换定理的陈述和例子
193变量替换定理的证明
第20章曲线积分和曲面积分
201弧长和曲线积分
202曲面面积和曲面积分
203格林公式和斯托克斯积分公式
附录A域公理和正性公理的推论
附录B线性代数
索引

本书是由美国马里兰大学Patrick MFitzpatrick教授撰写的，可以作为高等院校数学系低年级本科生学习数学分析的教材或参考读物．全书立意新颖，论述严谨，推理严密，表达简洁清晰而富有启发性，可以较好地培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力及空间想象能力，为后续课程的学习打下扎实的基础．
　　本书原著第1版第1至15章由金嘉华翻译，第16至19章及两个附录由顾长康翻译．原著第2版出版后，全书（除前言外）由顾长康依据第2版改译并作校对．由于译者水平有限，不当之处在所难免，望读者不吝指正．

　　金嘉华
　　顾长康