我喜欢这本书。它讲解清晰，易于理解。用数值进行试验，用自己的方式从观察结果中猜测，最后完成证明。
　　——Jurgen Bierbrauer，密歇根理工大学

　　本书每一章非常简短而且自成体系，很容易从中挑选我喜爱的主题。本书写作风格独特，书中提供了极佳的示例，以引出定理的叙述和证明。这种风格非常适合于数论的初级课程。
　　——Maureen Fenrick，明尼苏达州立大学曼凯托分校

　　本书面向非数学专业学生，讲述了有关数论的知识，教给他们如何用数学方法思考问题，同时介绍了目前数论研究的某些前沿课题。本书采用轻松的写作风格，引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的练习来培养读者的探索精神与创新能力。对于定理的证明，则强调证明方法而不仅仅是得到特定的结果。

无

20世纪90年代美国数学界掀起了微积分教学改革的浪潮，其目的是教会学生自己思考与解决实质性问题，而不仅仅是背诵公式与进行机械的代数操作．本书有类似的但更大的目标，意在引导你进行数学思考与体验独立知识发现的惊喜．我们选择的话题——数论，尤其适合我们的意图．自然数1，2，3，…具有多种漂亮的模式与关系，其中许多可谓一目了然，但其余的是如此难以捉摸以致人们诧异它们是否被真正引起注意．数学实验仅需要纸与笔，但基于少量例子作出的猜想可能是错误的．一个人最终确信他的数值例子反映了一般真理需要有说服力的例证．本书将引导你通过潜伏鲜艳数论花朵的丛林，同时鼓励你去调查、分析、猜测与最终证明你自己的美妙数论结果．
　　本书初稿用作布朗大学Jeff Hoffstein教授在20世纪90年代早期建立的课程Math 42的教材．课程Math 42用于吸引那些对标准微积分系列课程兴趣不大的非理科专业学生，同时说服他们去学习一些大学数学，目的在于创建一个类似于“莫扎特（Mozart)的音乐”或“伊丽莎白女王时代的戏剧”课程，引导听众通过对某一特殊方面的系统学习而对整体上的主题与方法有所了解．课程Math 42取得了极大的成功，既吸引了它拟定的读者群也吸引了想听点不同于传统的大讲座或压缩饼干式课程的理科大学生．
　　阅读本书需要的预备知识很少．熟悉高中代数是必要的，而会编写计算机程序的读者将会从产生大量的数据和执行各种算法获得乐趣，但实际上读者仅需一个简单的计算器．微积分的一些概念有时被提到，但基本上不怎么用它．尽管如此，我们仍要提醒读者，要想真正欣赏数论，必须有渴求知识和探索问题的愿望，不怕做试验，不怕犯错误并从错误中吸取教训，有面对挫折的勇气以及坚持到最后胜利的恒心与毅力．具备这些素质的读者将在学习数论以及欣赏生活方面有较大的回报．
　　第1版中致谢
　　我要感谢许多人的帮助，包括在课程Math 42方面有过先驱性工作的Jeff Hoffstein、Karen Bender与Rachel Pries,允许我使用他一些卡通画的Bill Amend，便于进行数论计算的PARI的发明者，对初稿提出许多有益建议的Nick Fiori、Daniel Goldston、Rob Gross、Matt Holford、Alan Landman、Paul Lockhart、Matt Marcy、Patricia Pacelli、Rachel Pries(再次)、Michael Schlessinger、Thomas Shemanske、Jeffrey Stopple、Chris Towse、Roger Ware、Larry Washington、Yangbo Ye、Karl Zimmerman、Michael Artin、Richard Guy、Marc Hindry、Mike Rosen、Karl Rubin、Ed Scheinerman、John Selfridge与Sam Wagstaff，以及在出版过程中给出建议与指导的Prentice Hall出版社的George Lobell与Gale Epps
　　最后也是最重要的，我要感谢我的妻子Susan与孩子们Debby、Daniel和Jonathan在我写作本书时表现出的耐心与理解．
　　第2版中致谢
　　我要感谢那些花费时间向我提出修正或其他建议的人们，这对准备第2版是极有帮助的．他们包括：Arthur Baragar、Aaron Bertram、Nigel Boston、David Boyd、Seth Braver、Michael Catalano Johnson、L.Chang、Robin Chapman、Miguel Cordero、John Cremona、Jim Delany、Lisa Fastenberg、Nicholas Fiori、Fumiyasu Funami、Jim Funderburk、Andrew Granville、Rob Gross、Shamita Dutta Gupta、Tom Hagedorn、Ron Jacobowitz、Jerry S.Kelly、Hershy Kisilevsky、Hendrik Lenstra、Gordon S.Lessells、Ken Levasseur、Stephen Lichtenbaum、Nidia Lopez Jerry Metzger、Jukka Pihko、Carl Pomerance、Rachel Pries、Ken Ribet、John Robeson、David Rohrlich、Daniel Silverman、Alfred Tang与Wenchao Zhou
　　第3版中致谢
　　我要感谢Jiro Suzuki把本书很好地翻译成日文．我也要感谢那些花时间给我提出修改建议的人们，这对准备第3版是极为有益的．他们包括：Bill Adams、Autumn Alden、Robert Altshuler、Avner Ash、Joe Auslander、Dave Benoit、Jürgen Bierbrauer、Andrew Clifford、Keith Conrad、Sarah DeGooyer、Amartya Kumar Dutta、Laurie Fanning、Benji Fisher、Joe Fisher、Jon Graff、Eric Gutman、Edward Hinson、Bruce Hugo、Ole Jensen、Peter Kahn、Avinash Kalra、Jerry Kelly、Yukio Kikuchi、Amartya Kumar、Andrew Lenard、Sufatrio Liu、Troy Madsen、Russ Mann、Gordon Mason、Farley Mawyer、Mike McConnell、Jerry Metzger、Steve Paik、Nicole Perez、Dinakar Ramakrishnan、Cecil Rousseau、Marc Roth、Ehud Schreiber、Tamina Stephenson、Jiro Suzuki、James Tanton、James Tong、Chris Towse、Roger Turton、Fernando Villegas与Chung Yi.
　　电子邮件与电子资源
　　上面所列的各位帮助我改正了一些错误并提出了有益的建议，但没有哪本书会毫无错误或没有改进的余地．我很乐意收到来自读者的不论是肯定的还是批评的评论或更正．你可发邮件到我的信箱
　　jhs@mathbrownedu
　　另外一些资料（包括更正表、一些数论网站的链接以及涉及计算机的许多练习），都可从本书主页
wwwmathbrownedu/~jhs/frinthtml
处获得．

　　Joseph HSilverman

译者序
中文版序
前言

引言
第1章什么是数论
第2章勾股数组
第3章勾股数组与单位圆
第4章高次幂之和与费马大定理
第5章整除性与最大公因数
第6章线性方程与最大公因数
第7章因数分解与算术基本定理
第8章同余式
第9章同余式、幂与费马小定理
第10章同余式、幂与欧拉公式
第11章欧拉函数与中国剩余定理
第12章素数
第13章素数计数
第14章梅森素数
第15章梅森素数与完全数
第16章幂模m与逐次平方法
第17章计算模m的k次根
第18章幂、根与不可破密码
第19章素性测试与卡米歇尔数
第20章欧拉函数与因数和
第21章幂模p与原根
第22章原根与指标
第23章模p平方剩余
第24章-1是模p平方剩余吗？2呢
第25章二次互反律第26章哪些素数可表成两个平方数
之和
第27章哪些数能表成两个平方数
之和
第28章方程X4+Y4=Z4
第29章再论三角平方数
第30章佩尔方程
第31章丢番图逼近
第32章丢番图逼近与佩尔方程
第33章数论与虚数
第34章高斯整数与唯一因子分解
第35章无理数与超越数
第36章二项式系数与帕斯卡三角形
第37章斐波那契兔子问题与线性递归
序列
第38章O，多美的一个函数
第39章连分数的混乱世界
第40章连分数、平方根与佩尔方程
第41章生成函数
第42章幂和
第43章三次曲线与椭圆曲线
第44章有少量有理点的椭圆曲线
第45章椭圆曲线上模p的点
第46章模p的挠点系与不好的
素数
第47章亏量界与模性模式
第48章椭圆曲线与费马大定理
附录A小合数的分解
附录B6000以下的素数表
参考文献
索引

中国人对数论的研究有悠久而值得骄傲的历史，它甚至可追溯到一两千年前．我非常荣幸和高兴地看到我的书被翻译成中文，它给读者提供了对美妙数论的一个导引．或许你是正开始在数学道路上旅行的学生，或许你仅渴望对这个古老而美丽的课题有点初步了解，我希望本书能给你带来许多启发与乐趣．

　　Joseph H.Silverman
　　2007年7月26日于波士顿

2006年夏天机械工业出版社找到我，希望翻译美国布朗大学Silverman教授的数论入门书《A Friendly Introduction to Number Theory》．由于我个人教学科研任务比较繁重，遂联合我指导过的吴克俭（湛江师范学院）、卢青林（徐州师范大学）与曹惠琴（南京审计学院）三位博士共同翻译这本名著．
　　我国高等教育偏重传授知识，而美国更重视启发式教育．（我在加州大学教过课，对此深有体会．）在数学教学上，也是如此．反映在教材上，国内不少数学教材内容既多又难，而美国的同类教科书更重视对读者循序渐进式的启发．在翻译过程中，我们感到Silverman教授这本书尤其体现了国外教材的风格，它引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的练习来培养读者的探索精神与创新能力．
　　我国古代数学曾有很辉煌的成就．著名的中国剩余定理（见第11章）最初以问题形式出现于公元3世纪时我国的数学著作《孙子算经》（孙子所著）中，相应的一次同余式组解法由南宋数学家秦九韶（1202—1261）在其1247年出版的名著《数书九章》中给出．本书中所称的毕达哥拉斯定理在我国叫做勾股定理，我们把相应的毕达哥拉斯三元组译为勾股数组；我国古代数学著作《周髀算经》中就记载着“勾广三，股修四，径隅五”（即有边长分别为3，4，5的直角三角形），据传这出自于西周开国时期大夫商高与周公的对话．另外，由二项式系数组成的帕斯卡三角形（见第36章）在我国叫做杨辉三角形，因为南宋数学家杨辉（约1238—1298）在其著作《详解九章算术》中记载的同类工作早于帕斯卡（1623—1662）400多年．
　　在翻译过程中我们尽量沿用作者原来的表述，但有时需要对个别字句（包括一些诗）进行意译．我们还添加了关于梅森素数的最新记录，并提及最近一些数论重大进展（如多项式时间的AKS素性测试以及模猜想（也叫谷山志村猜想）的完整解决）．此外，附录B中5700以下的素数表被我们扩展成6000以下的素数表．还需指出的是，书中的自然数指正整数，但数学上一般把非负整数（包括0）叫做自然数；书中认为谈论0与0的最大公因数没有意义，但从理想论角度一般定义gcd(0,0)=0．
　　由于时间上的仓促以及水平上的局限，译稿中难免出现不妥或疏漏之处，欢迎广大读者批评指正．

　　孙智伟
　　南京大学数学系