本书由著名代数学家与代数几何学家Michael Artin所著，是作者在代数领域数十年的智慧和经验的结晶。书中既介绍了矩阵运算、群、向量空间、线性变换、对称等较为基本的内容，又介绍了环、模、域、伽罗瓦理论等较为高深的内容，本书对于提高数学理解能力、增强对代数的兴趣是非常有益处的。此外，本书的可阅读性强，书中的习题也很有针对性，能让读者很快地掌握分析和思考的方法。
　　本书的麻省理工学院、普林顿大学、哥伦比亚大学等著名学府得到了广泛采用，是代数学的经典教材之一。

无

虽然时新的和孜孜以求追求公理化和一般化的激情，带给我们的一般概念和命题可能是重要的，而且这在代数学中也许胜于任何其他领域，但是我坚信，各种特殊的问题以其极端的复杂性构成数学的基干和核心，而掌握其难点从整体上需要更刻苦地工作.
Herman Weyl

本书源于大约20年前我的代数课补充讲义．
我那时想比教材中更为详细地讨论如对称、线性群和四元数域等具体内容，
而将群论的重点由置换群转到矩阵群．格——另一个常见的主题，
让它很自然地出现．我的希望是具体的东西会使学生感兴趣且会使抽象更易理解，简言之，
他们可同时学习二者而学得更深．这项工作进行得很顺利．
我花了很长时间来确定加上些什么，
我逐渐写出了更多的讲义而最终仅用讲义而不用其他教材．
这种办法形成了一本我认为与已有的书都有所不同的书．然而，
当我把材料汇总起来时遇到了不少头疼的事，
因而我不推荐以这样的方式开始写书．
本书最突出的特点是加大对特殊主题的强调．每次重写这些章节时，
它们都在膨胀．因为多年来我注意到，与抽象概念不同，
学生对于具体的数学题材是多多益善．结果，
上面提到的这些东西成了本书的主体．另外，书中也有一些不常见的主题，如
托德考克斯特算法和PSL2的单性．
在写本书时，我尽力遵循下面的原则：
1主要例子应放在抽象定义之前．
2本书不是作为一本“服务教程”（手册、指南或诸如此类的书），
因此技巧只应在用到的时候提及．

3所有讨论的主题对于一般的数学工作者而言都应是重要的．
虽然这些原则听起来像是写书的本源和路标，
但我发现把它们讲出来是很有用的，要记住，
“按你所教的写”并不在这些原则之中．当然，我有时也会违反这些原则．





这是指原英文书．——编辑注


目录给出了本书主题内容的很好的线索，
不过乍一看会使你认为本书包含了代数入门课程的所有标准材料或者更多．
但更仔细看一看，你会发现不时会有一些东西被省去而让位给特别的主题．
上面的原则是我的指南．在进入抽象内容之前给出主要例子，
使得一些抽象能被处理得更简洁．
在学生克服固有的概念性困难以后再进行某些讨论，
还使我压缩了一些东西．如第十章佩亚诺公理的讨论，就被减到两页．虽然其讨论是相当不完整的，但我的经验是这已经足以使学生体会到整数算术公理化的发展．如果把它放到书的前面，就需要进行更为广泛的讨论，
为此而花费时间是不值得的．有时推后的内容可以一直推下去，
那不是本质的．
例如，对偶空间和多线性代数，根据第二条原则被搁置起来．
对于一些概念，比如极小多项式，
我最终认为将它们包括进入门性代数书中的主要目的是提供方便的练习来源．

本书各章按照我通常教课的顺序安排．
线性代数、群论和几何构成第一学期的内容．环在第十章才引入，虽然该章在逻辑上独立于前面许多章节．
我采用这种非常规安排的原因是我想从一开始就强调代数与几何的联系，
而且也是因为前面几章的内容对其他领域的人来说毕竟是最重要的．
缺点是计算受到忽视．后面几章中向计算的倾斜，是对此的补偿．
在后面的几章里，几何又以格、 对称和代数几何的面貌多次出现．
Michael Artin
1990年12月

译者序

前言

给教师的话

致谢




第一章矩阵运算

第一节基本运算

第二节行约简

第三节行列式

第四节置换矩阵

第五节克拉默法则

练习

第二章群

第一节群的定义

第二节子群

第三节同构

第四节同态

第五节等价关系和划分

第六节陪集

第七节限制到子群的同态

第八节群的积

第九节模算术

第十节商群

练习

第三章向量空间

第一节实向量空间

第二节抽象域

第三节基和维数

第四节用基计算

第五节无限维空间

第六节直和

练习

第四章线性变换

第一节维数公式

第二节线性变换的矩阵

第三节线性算子和特征向量

第四节特征多项式

第五节正交矩阵与旋转

第六节对角化

第七节微分方程组

第八节矩阵指数

练习

第五章对称

第一节平面图形的对称

第二节平面运动群

第三节有限运动群

第四节离散运动群

第五节抽象对称：群作用

第六节对陪集的作用

第七节计数公式

第八节置换表示

第九节旋转群的有限子群

练习[HT〗

第六章群论的进一步讨论

第一节群在自身的作用

第二节二十面体群的类方程

第三节在子集上的作用

第四节西罗定理

第五节12阶群

第六节对称群计算

第七节自由群

第八节生成元与关系

第九节托德考克斯特算法

练习

第七章双线性型

第一节双线性型的定义

第二节对称型：正交性

第三节正定型相关的几何

第四节埃尔米特型

第五节谱定理

第六节圆锥曲线与二次曲面

第七节正规算子的谱定理

第八节斜对称型

第九节用矩阵记号对结果的小结

练习

第八章线性群

第一节典型线性群

第二节特殊酉群SU2

第三节SU2的正交表示

第四节特殊线性群SL2(R)

第五节单参数子群

第六节李代数

第七节群的平移

第八节单群

练习

第九章群表示

第一节群表示的定义

第二节G不变型及酉表示

第三节紧群

第四节G不变子空间与既约表示

第五节特征标

第六节置换表示与正则表示

第七节二十面体群的表示

第八节一维表示

第九节舒尔引理和正交关系的证明

第十节群SU2的表示

练习

第十章环

第一节环的定义

第二节整数和多项式的形式构造

第三节同态与理想

第四节商环与环的关系

第五节元素的添加

第六节整环与分式域

第七节极大理想

第八节代数几何

练习

第十一章因子分解

第一节整数和多项式的因子分解

第二节唯一因子分解整环、主理想整环与
欧几里得整环

第三节高斯引理

第四节多项式的具体分解

第五节高斯整数环中的素元

第六节代数整数

第七节虚二次域中的因数分解

第八节理想因子分解

第九节R的素理想与素整数的关系

第十节虚二次域的理想类

第十一节实二次域

第十二节一些丢番图方程

练习

第十二章模

第一节模的定义

第二节矩阵、自由模和基

第三节恒等式的不变性原理

第四节整数矩阵的对角化

第五节模的生成元与关系

第六节阿贝尔群的结构定理

第七节对线性算子的应用

第八节多项式环上的自由模

练习

第十三章域

第一节域的例子

第二节代数元与超越元

第三节扩域的次数

第四节直尺圆规作图

第五节根的符号添加

第六节有限域

第七节函数域

第八节超越扩域

第九节代数闭域

练习

第十四章伽罗瓦理论

第一节伽罗瓦理论的主要定理

第二节三次方程

第三节对称函数

第四节本原元

第五节主要定理的证明

第六节四次方程

第七节库默尔扩域

第八节分圆扩域

第九节五次方程


练习

附录背景材料

记号

进一步阅读建议

索引

美国数学学会在2002年授予Michael Artin教授Steele终身成就奖时，在评价中有这样一段话：“许多年来他的代数课程是麻省理工学院教育的一个特色，现在全世界都可以通过他的教科书分享其中的一些见解．”本书就是这本教科书的中译本．
这是一本很有特色的代数书．自1965年Serge Lang的《Algebra》以来，本科生和研究生层次的代数教材出了不少，但内容和架构不出Serge Lang书的范围．这并不是说那些书都不好，而是Serge Lang的代数书确实是一个经典．Serge Lang的书以培养抽象化思维能力为基点，书中的内容大多从纯粹抽象代数的观点出发，结合数论中的一些方法，尽管把抽象代数的内容进行了统一的抽象处理，但并没有把代数同其他数学分支广泛联系起来．Michael Artin所著的这本书脱开了Serge Lang的桎梏．作为一个代数几何学家（偏向代数的背景），他在本书中尽力强调代数同其他数学分支的联系，尤其是同拓扑以及代数几何的联系，书中的很多章节都对抽象的概念进行了直观的解释或者给出了形象的例子，使读者能看到一个个用抽象定义的概念背后的图形，并体会到代数在其他分支中的威力和另一种风格的数学美．
对于希望以后攻读代数的学生，这本书能开阔他们的视野．对于其他分支的学生，这本书中的代数知识是成为一个数学家所必须具备的基础知识．
历时1年译完这本原著近600页的书后，我有两点遗憾，一是我没能在25年之前看到这本书，二是只有1年的时间来进行翻译．25年前是我上大学的时候，假如那时我读了这本书，应该会有更高的数学品位，对数学特别是对代数及其意义会有一个更为全面和深入的认识，避免一些走过的弯路．1年的时间实在太短，但愿我粗拙的汉语表达不致影响你对大师数学思想之美的欣赏．