本书通过大量例子和插图，用生动的语言深入浅出地阐述了拓扑学这门重要的、充满魅力的数学课程。本书分为两部分，前七章作为第一部分，介绍了拓扑学这门重要的、充满魅力的课程的基本内容；后七章作为第二部分，论述了拓扑学的概念在其他数学领域、科学以及工程方面的作用和意义。
本书作为拓扑学的入门课程，适用于对拓扑学的应用感兴趣的各专业本科生与研究生。

本书分为两部分，前七章作为第一部分，介绍了拓扑学这门重要的、充满魅力的课程的基本内容；后七章作为第二部分，论述了拓扑学的概念在各领域的作用和意义，这些领域包括数字图像处理、遗传工程、地理信息系统、机器人学、医学（心脏搏动模型）、生物化学、化学、经济学、化学图论、电子线路设计和宇宙学等。
作者简介
Colin Adams 1983年于美国威斯康星大学麦迪逊分校获得博士学位，现为美国威廉姆斯学院数学系Thomas T. Read教授。其研究领域包括纽结理论及其应用、双曲3维流形等，已经发表了40多篇有关此领域的论文。
Robert Franzosa 1984年于美国威斯康星大学麦迪逊分校获得博士学位，现为美国缅因大学数学系教授。其研究领域包括动力系统、拓扑学在地理信息系统中的应用，已经发表了多篇有关此领域的论文。他于2003年获得了缅因大学总统杰出教育奖。
在展开内容时，先提供一个简短的、引人入胜的背景知识介绍，为引进有关的概念作铺垫，并激发读者学习和以后进一步钻研的兴趣。
提供了许多例子和插图，并用生动的语言深入浅出地阐述了这门通常被认为是很抽象的、很艰深的、望而生畏的数学课程。
注重启发学生的思维，有利于科学独创性的培养。
除了反映拓扑学广泛应用的动态外，还为数学教学改革提供了范例。
本书特点

通常认为，拓扑学（与分析学和代数学一起）是现代基础数学的三个关键领域之一.在拓扑学的早期发展中，它的一些结果主要是受现实世界问题研究的推动而产生的.然后，在20 世纪上半叶，拓扑学的奠基性工作确立以后，它的重点开始转向抽象.过去几十年来，拓扑学在诸如经济学、工程、化学、医学和宇宙学等形形色色的领域中的应用都有了长足的发展.
　　本书的目标在于以下两个方面：
　　　介绍拓扑学这门重要的、充满魅力的课程.
　　　论述拓扑学的概念在其他数学领域、科学以及工程上的作用和意义.
　　通过本书，读者将了解点集拓扑的基础知识，并进一步被引向诸如纽结、流形、动力系统、不动点和拓扑图等课题.此外，读者还将了解在一些应用领域中如何运用拓扑学的一些结果，范围包括从化学中的原子到宇宙学中的天体.
目标读者
　　阅读本书需要具备最基本的数学素养.对于已成功修完一门基础数学方面的入门课程的学生来说，应该已具备了足够的数学背景知识.在第0章，我们提供了本书所需的集合、关系、函数、实数轴和欧几里得空间等背景材料的概述.已经修过微积分系列课程并掌握了本书第0章的内容，且在数学上有一定素养的学生，就已充分作好了选修本课程的准备.我们认为，本书作为拓扑学的入门课程，适用于本科生一学期或两学期的教学，也可以作为研究生的入门课程.
如何使用本书
　　点集拓扑的核心介绍可以在本书以下章节找到：1.1～1.3，2.1～2.3，3.1～3.4，4.1，4.2，5.1，5.3，6.1～6.4，7.1～7.3.
　　对采用本书作为教材的任何课程，我们推荐把以上这些章节列入课程的核心部分，因为本书其余大部分材料都来自这些章节的许多结论.
　　除了这些核心部分，我们试图使本书的其余论题彼此独立.在后面的表中，给出了这些论题之间的关系.
　　对本书核心部分之外的每个拓扑学论题以及每个应用，我们都提供了简短的、有意义的、引人入胜的介绍，希望以此激发读者的兴趣，并为后续研究埋下伏笔.
　　对于一学期的拓扑学入门课程，应该包括第1～7章的核心部分，以及其余章节的几个附加课题.随后的课程安排可以采取各种形式，既可以继续学习本书的全部附加课题和应用，也可以采取讨论班的形式进行.在讨论班上，可以让学生对附加的课题和应用进行探讨，并发表对这些问题的看法.在每次讨论班上，在拓扑学的应用方面应选取一个关注点，主要选自本书提供的素材.我们还认为，这些附加的课题和应用有助于学生的独立研究，并为优等生或教师的进一步探索提供有益的介绍性材料.
章节之间的关系
　　本书的使用可以有许多方式.不过，我们仍然推荐把第1～7章的核心部分作为点集拓扑的一个引论.下表给出了本节各论题之间的关系，以帮助读者或教师挑出所需的、核心部分以外的课题，并选择合适的学习顺序.关于此表，应注意以下几个要点：
　　　与核心材料所对应的章节号，加圈予以标注.
　　　没有提供第1～7章之间的相互关系，仅给出其中每一章各节之间的相互关系.
　　　对第8～14章的附加课题来说，第1～7章的核心材料是不可或缺的，但是，第1～7章非核心的节中没有第8～14章所需的材料（除了几个习题中参考了所需的材料外）.因此，在此表中，未告知第8～14章如何依赖于第1～7章.
　　　提供了第8～14章之间以及每一章各节之间的依赖关系.
　　第1章：拓扑空间
　　第2章：内部、闭包与边界
　　第3章：构建新的拓扑空间
　　第4章：连续函数与同胚
　　第5章：度量空间
　　第6章：连通性
　　第7章：紧致性
　　第8章：动力系统与混沌
　　　本章与其他章的论题无关.
　　第9章：同伦与度理论
　　　定理9.14的证明要用到4.1节和7.3节的补充练习中所建立的蒂茨延拓定理.
　　第10章：不动点定理及其应用
　　　10.1节中布劳威尔不动点定理的证明要用到9.2节中的非收缩定理.
　　第11章：嵌入
　　　在11.1节中对亚历山大角状球面的讨论，涉及9.5节中所给出的单连通性.对于这个例子来说，并不需要对单连通性进行充分阐述，能直观地理解9.5节中的定义和相关结果就足够了.
　　　在11.2节中对若尔当曲线定理的证明，需要用到9.2节中的非收缩定理和定理9.14，以及10.1节中的布劳威尔不动点定理.请注意，正如在第9章已提过的，定理9.14的证明要用到蒂茨延拓定理.
　　第12章：纽结
　　　本章与其他章的论题无关.
　　第13章：图论与拓扑学
　　　本章与其他章的论题无关.
　　第14章：流形与宇宙学
　　　在14.3节末尾简短讨论庞加莱猜想时提及了单连通性，这是9.5节中所提出的论题.除此之外，本章与其他章的论题无关.
证明
　　在本书中，拓扑学是作为一门基础数学来阐述的，我们提供了所需的定义、定理和适当形式的证明.
在第1～7章的核心部分，对所有的定理（除乌雷松度量化定理外）或者给出了证明或者安排作为习题.这些定理的证明主要是根据定义和以前的定理以直接的方式得到的.在这些章中所给出的证明中，我们试图为读者提供范例，在做习题中的证明题时，可以作为参考.阅读、理解这些证明，并且把它们的推导过程写出来，是学好数学的至关重要的方面.
　　在第8～14章中，我们对所提出的一些定理不加以证明，而另外一些给出证明的定理也未包含技巧上的细节.之所以这样做，是因为这些证明或细节要么需要超出本书范围的高深工具，要么背景特殊并与课题的适当展开显得有些格格不入.我们希望在第8～14章中，用较少的篇幅对论题进行介绍，并希望这些介绍能够让读者感到流畅自如.在证明或细节省略的场合，我们通常会告知读者，在哪里可以找到与此论题有关的进一步信息的其他来源.
　　拓扑学是一门高度可视化的学科，因而在研究时，图示对一个论题的理解常常是有益的.我们有时通过图示把一个证明中论证的几个部分连贯起来.在拓扑学中这是惯例，但是这样做既有优点又有不足.优点是，它使得书中的材料融会贯通，为一项研究工作或一次教学活动减少需要明确告知的细节；而缺点是，特别是对像本书这样一本入门教材来说，可能会给人一种印象，即拓扑学似乎主要是关于图形的一门学科，不如数学的其他领域那样严格.重要的是，要把图形的背后总是存在规范的数学这一点牢记在心，而且如果需要，可以提供为完成由图形表示的论证所需的必要细节.
图示
　　正如之前所提及的，拓扑学在自然界中是十分直观的.因此，我们提供了许多图示来帮助读者理解所提供的材料.而这些图示的内容从上下文来看应是一目了然的，为此我们采用了几个与图示中所用的尽可能一致的约定.下面用本书中所定义的数学术语来介绍这些约定.
图1　在一般拓扑空间X中的一个集合A

　　一般的拓扑空间　拓扑空间主要是为本书中所提出的理论而设置的.通常用空心矩形（黑色边线）表示一个一般的拓扑空间.例如，图1示意了一个集合A在一个一般的拓扑空间X之中.
　　平面　平面是本书所用的主要拓扑空间之一.在图示中，平面通常用无边线的灰色的矩形或平行四边形来表示.例如，图2示意了平面中的一个集合A——在一种情况下直接看作是平面，在另一种情况下可看作是一个具有倾角的平面.
　　3维球面　3维欧几里得空间也是本书所用的主要拓扑空间之一.通常用一个示意图来描述3维空间的集合.然而，有时为了强调示意图的环境位于3维空间，将一组3维的坐标轴也包括在示意图之中.例如，图3a所描述的球面不处于特定的环境，或可由上下文判断其所处环境，而图3b所描述的是在3维空间中的一个球面.
图2　平面中集合A的两种视图
　　
图3　一个球面和在3维空间中的一个球面
　　开集与边界被排除在外的部分　拓扑空间是开集族.在图示中，一个开集用由虚线边界所围的一个集合来表示.这个约定反映了一个事实，即开集不包括边界.虚线也用于表示一个集合的不包括在此集合之中的边界部分.在图4中，集合A是拓扑空间X中的一个开集；集合B是平面的一个开集；而集合C是一个正方形形状的平面集合，它包括正方形的左边和右边，但不包括它的顶边和底边.
图4　集合A与B是开集，集合C不包括顶边和底边
　　虚线还用于表示图示中所隐藏的或背后的曲线（如图3所示）.通常，这些虚线更细、更短.根据上下文，这些虚线所表示的含义应是一目了然的.
　　挖去的点　一些集合偶尔是从其他一些集合挖去一些点而得到的.在图示中，从一个集合中挖去一个点，通常用一个小的虚线圆来表示，如图5所示.
图5　挖去一个点的一个圆周、挖去一个点的一个平面以及挖去一个点的3维空间

译者序
前　言
第0章　引论1
　0.1　拓扑学是什么以及如何应用1
　0.2　历史一瞥5
　0.3　集合及其运算6
　0.4　欧几里得空间9
　0.5　关系11
　0.6　函数13
第1章　拓扑空间16
　1.1　开集与拓扑学的定义16
　1.2　拓扑的基19
　1.3　闭集26
　1.4　拓扑学应用举例29
第2章　内部、闭包与边界37
　2.1　集合的内部与闭包37
　2.2　极限点40
　2.3　集合的边界44
　2.4　在地理信息系统中的一个应用46
第3章　构建新的拓扑空间51
　3.1　子空间拓扑51
　3.2　积拓扑54
　3.3　商拓扑58
　3.4　有关商空间的更多例子64
　3.5　构形空间与相空间68
第4章　连续函数与同胚73
　4.1　连续性73
　4.2　同胚80
　4.3　机器人学的正向运动学映射88
第5章　度量空间93
　5.1　度量93
　5.2　度量与信息98
　5.3　度量空间的性质102
　5.4　可度量化107
第6章　连通性111
　6.1　建立连通性的第一种途径111
　6.2　用连通性区分拓扑空间117
　6.3　介值定理121
　6.4　道路连通性126
　6.5　自动导向装置130
第7章　紧致性134
　7.1　开覆盖与紧致空间134
　7.2　度量空间中的紧致性140
　7.3　极值定理145
　7.4　极限点紧致性150
　7.5　单点紧化153
第8章　动力系统与混沌157
　8.1　函数迭代157
　8.2　稳定性163
　8.3　混沌169
　8.4　复杂动力系统的简单人口模型175
　8.5　混沌蕴涵对初始条件的敏感依赖性…180
第9章　同伦与度理论183
　9.1　同伦183
　9.2　圆函数、度与收缩186
　9.3　在心脏搏动模型中的一个应用190
　9.4　代数学基本定理193
　9.5　再论拓扑空间的区分195
　9.6　再论度198
第10章　不动点定理及其应用205
　10.1　布劳威尔不动点定理205
　10.2　在经济学中的一个应用208
　10.3　卡库塔尼不动点定理214
　10.4　博弈论与纳什均衡219
第11章　嵌入226
　11.1　嵌入的一些结论226
　11.2　若尔当曲线定理231
　11.3　数字拓扑和数字图像处理236
第12章　纽结242
　12.1　合痕和纽结243
　12.2　赖德迈斯特运动与环绕数249
　12.3　纽结多项式253
　12.4　在生物化学与化学中的应用257
第13章　图论与拓扑学263
　13.1　图263
　13.2　化学图论268
　13.3　图的嵌入272
　13.4　交叉数与厚度278
第14章　流形与宇宙学284
　14.1　流形285
　14.2　欧拉示性数与紧致曲面的分类292
　14.3　3维流形299
　14.4　宇宙的几何结构307
　14.5　宇宙是哪一种流形311
进一步阅读材料314
参考文献316

众所周知，拓扑学（与分析学和代数学一起）是现代基础数学的三个关键领域之一.近几十年来，拓扑学在经历朝抽象方面发展的阶段后，又在诸多应用领域得到了广泛的发展.本书就是为了适应这一趋势而推出的.
　　本书适用于对拓扑学及其应用感兴趣的各专业本科生与研究生，当然还有教师和专业人员.这些专业领域包括数字图像处理、遗传工程、地理信息系统、机器人学、医学（心脏搏动模型）、生物化学、化学、经济学、化学图论、电子线路设计和宇宙学等.对于数学专业的本科生、研究生和教师，本书也是很好的教材或教学参考书.此外，关注数学教学改革的各界人士，也能从本书得到有益的启示.
　　本书可以分为两大部分，前七章作为第一部分，是介绍拓扑学基础的核心部分，后七章是第二部分，其中的拓扑学论题的结论大都来自前七章的结论.
　　作者在展开内容时，无论是理论还是应用方面，都先提供一个简短的、引人入胜的背景知识的介绍，为引进有关的概念作铺垫，并激发读者学习和以后进一步钻研的兴趣.为了减轻读者的负担，除了核心部分，作者还设法让本书所讨论的论题彼此独立.在“前言”中，列表给出了这些论题之间的关系.借助这个表，读者就可以采用最合理的途径，尽快地实现自己的目标.
　　对应用感兴趣的读者，可以按照“前言”中列表的提示选学有关的章节，为解决相关领域的问题，尽快奠定必要的拓扑学的基础.
　　由于“不懂拓扑学就不懂现代数学”的观念逐步深入人心，因此拓扑学课程已开始列入大学数学类专业的教学计划.而本书理论与应用并重，把它作为基础数学与应用数学专业本科生或其他专业研究生拓扑学课程的教材，是很合适的.在本书中，作者采用拓扑学的工具对代数学基本定理和若尔当曲线定理作出证明.这两个定理在数学专业的课程中一般是不给出证明的.当然，对专攻拓扑学领域的学生来说，本书对有关理论的阐述深度是不够的，有待进一步扩展.此外，译者认为，本书缺乏对拓扑学整个学科的系统性的综述，这算是它的美中不足之处.不过有心的读者不妨自己进行综合、概括，必定大有裨益.
　　译者向读者推荐本书，理由很简单，作者将人们通常认为很抽象、很艰深、望而生畏的一门数学课程用生动的语言深入浅出地阐述出来.它还提供了许多例子和插图，便于读者理解抽象的概念和理论.因此，只要有一定微积分基础的读者，都能通过本书掌握拓扑学的基本理论和方法.
　　作者还针对读者对课程的不同需要，对内容作出精心的安排并提出建议.课程的实施除了可以采取各种通常的形式外，还可以采取讨论班的形式进行，这样，读者在获取知识的同时，还能增长解决问题的能力.
译者还向关心数学教学改革的人士推荐本书.本书很有独创性，除了反映拓扑学广泛应用的动态外，还为数学教学改革提供了范例.作者尊重教学规律，注重启发学生的思维，有利于科学独创性的培养.现在，科教兴国的观念日益深入人心，重视教育的呼声持续不断.数学工作者为此也作出了努力，但是实际状况并不理想.仅以微积分教材为例，全国出版的各类微积分课本不下千种，不仅内容千篇一律，而且教学思想也显得有些陈旧，所举的例子很多是不切合实际的，有创意的教材屈指可数，与社会的需要很不适应.如果没有独创性的教学思想和教材，学生独创性思维的培养就无从谈起了，希望本书能为我国数学教材的改革提供有益的借鉴，译者渴望独创性的数学教材在华夏大地不断涌现.
　　译者作为从事数学教学工作40年的老数学工作者，有幸比读者早欣赏到本书的风采，再次郑重向诸位推荐此书，愿与大家一起分享好书给人们带来的愉悦.
　　承蒙机械工业出版社华章公司计算机编辑部主任及责任编辑的关注，使译者在本书定稿前收到从网上下载的原作者提供的勘误表，确保了本译著的质量，对此表示谢意.译者提及此事，是希望国内出版界本着对读者负责的精神，发扬勇于纠正错误的风气，利用网络发布等形式，为读者提供高质量的精神食粮.
　　除封面署名之外，参与本书翻译的还有王季华、姚德源、肖伯骥、沈佳、仇晓林等人.本书涉及的应用学科门类广泛，由于知识面的局限，在有关拓扑学和应用学科的术语等方面的表述上，难免有不当之处，请读者不吝指正，在此预致谢意.

沈以淡
2010年3月15日